Считать умеют птицы, обезьяны, маленькие дети до того, как научатся говорить. Натуральные числа кажутся самой простой и очевидной структурой во вселенной — а строгое их определение появилось только в 1889 году у Пеано, и потребовало пяти аксиом, которые с тех пор переписывали ещё дважды1.

Аксиомы Пеано говорят: есть нечто, называемое 0 (или 1, в другой формулировке), и есть операция «следующий». Применяя её, мы получаем 1, 2, 3, и так далее. Никакое натуральное число не равно 0 (в расширенной версии); разные числа имеют разных следующих; и работает индукция — если свойство верно для 0 и сохраняется при переходе к следующему, оно верно для всех.

Бог создал натуральные числа — всё остальное дело рук человеческих.
— Кронекер

Спор «входит ли 0 в ℕ» внешне терминологический, но за ним стоит реальное напряжение2. Французская традиция и большинство учебников теории множеств включают 0 (потому что мощность пустого множества — 0). Английская традиция и теория чисел чаще исключают (потому что в задачах деления и простоты 0 ведёт себя странно). Оба соглашения корректны; спор — о вкусе.

Натуральных чисел бесконечно много — это знал Евклид. Но «бесконечно» оказалось не одной величиной, а целой иерархией. Кантор показал, что натуральных и рациональных одинаково много (счётная бесконечность ℵ₀), а вещественных строго больше (несчётная). Это первое настоящее открытие в теории множеств — и оно касается именно ℕ как точки отсчёта.

На ℕ строится всё остальное: целые получаются как пары (a − b), рациональные как (a/b), вещественные как пределы рациональных, комплексные как пары вещественных. Натуральные числа — корень дерева, без которого нет ни одной ветки.