| значение | 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082… |
| определение | γ = limn→∞ ( Σk=1..n 1/k − ln n ) |
| тип | неизвестно — не доказана ни рациональность, ни иррациональность |
| обнаружено | Эйлер, 1735 · 16 знаков вручную |
| уточнил | Лоренцо Маскерони, 1790 · 32 знака (19 верных) |
| обозначение | γ · иногда C или EM |
| статус | рациональность не доказана и не опровергнута |
| связано | e · π · натуральные числа · гармонический ряд · Риман |
Число, о котором мы не знаем почти ничего.
гармонический ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … расходится. но он расходится очень медленно и очень предсказуемо. разница между суммой и логарифмом стремится к числу. это число — γ.
Гармонический ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … расходится к бесконечности. Это знали ещё в XIV веке — Николай Орем доказал расходимость около 1360 года, задолго до самой идеи дифференциального исчисления1. Сумма первых n членов растёт примерно как ln(n).
Но «примерно» — это не точно. Эйлер в 1735 году спросил: насколько точно? Чему равна разница между суммой 1 + 1/2 + … + 1/n и числом ln(n)?
При n = 10 разница ≈ 0.6263. При n = 100 — 0.5822. При n = 1000 — 0.5777. При n = 1 000 000 — 0.5772. Разница не стремится к нулю и не уходит в бесконечность. Она стремится к числу. Это число Эйлер обозначил буквой C, потом — γ, и вычислил первые знаки: γ = 0.5772156649…2
Маскерони в 1790 году попытался уточнить. Он получил 32 знака. Позже выяснилось, что верны только 19. Тем не менее константу теперь называют именем их обоих — и почти ничего нового мы про неё с тех пор не узнали.
Мы вычислили γ с точностью до 600 000 знаков и всё ещё не знаем, является ли это число дробью.
γ появляется в математике неожиданно часто. Среднее количество делителей числа n при большом n равно ln(n) + 2γ − 1. В дзета-функции Римана ζ(s) при s → 1 имеет полюс, и γ появляется в разложении Лорана вокруг этого полюса как первая константа. В формуле Стирлинга для ln(n!). В интеграле Эйлера-Маскерони γ = −∫0∞ e−t ln(t) dt. В физике плазмы и в задачах о среднем поведении сложных систем.
И при всём этом — мы не знаем, является ли γ рациональным числом. Это один из самых стыдных открытых вопросов математики. Для сравнения: иррациональность e доказана Эйлером в 1737 году. Иррациональность π — Ламбертом в 1761 году. Иррациональность √2 — пифагорейцами две с половиной тысячи лет назад. Иррациональность γ — неизвестна в 2026 году.
Если γ окажется рациональным, её знаменатель должен быть больше 10242080 — это нижняя оценка, выведенная из вычисленных триллионов знаков3. Но «очень большой знаменатель» — это не доказательство иррациональности. Все числа, которые так ведут себя в анализе, оказываются иррациональными — но для γ доказательства нет ни в одну сторону.
γ — напоминание о том, что математика полна вещей, которые мы используем, но не понимаем до конца.