| значение | 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352… |
| тип | иррациональное · трансцендентное |
| определение | e = lim (1 + 1/n)n при n → ∞ |
| альт. определение | e = Σ 1/n! (n = 0, 1, 2, …) |
| производная | d/dx(ex) = ex · единственная такая функция |
| впервые | Бернулли, 1683 · задача о сложных процентах |
| обозначение | e · введено Эйлером, 1731 |
| трансцендентность | доказана Эрмитом, 1873 |
| связано | π · формула Эйлера eiπ+1=0 |
Неподвижная точка дифференцирования.
e — единственное число, равное собственной производной. оно везде, где скорость пропорциональна состоянию.
Якоб Бернулли в 1683 году задал банкирский вопрос: что будет, если делить год на всё более мелкие интервалы и начислять процент чаще? Если делить на два — за год капитал умножается на (1 + 1/2)² = 2.25. Если на четыре — на 2.44. Если на сто — на 2.70. Окажется, что выгода имеет предел, и этот предел — e1.
Открытие Бернулли было экономическим, но настоящая роль e обнаружилась веком позже, когда стало понятно, что эта же константа управляет любым процессом, в котором скорость изменения пропорциональна самой величине. Радиоактивный распад, остывание чашки, рост популяции, заряд конденсатора — все они описываются одним и тем же уравнением dy/dt = ky, и в его решении сидит e.
e — единственное число, у которого производная самой себя равна себе. Оно — неподвижная точка дифференцирования.
Это и есть его глубинное определение. Не «предел сложных процентов» и не «сумма обратных факториалов» — обе эти формулы являются следствиями. Сам объект задаётся условием f'(x) = f(x), f(0) = 1, и единственная функция, удовлетворяющая ему, — это ex. Всё остальное (натуральный логарифм, нормальное распределение, гиперболические функции) — это разные способы посмотреть на одну и ту же неподвижную точку.
Физически это означает одно: если скорость роста пропорциональна текущему значению — там e. Бактерии делятся — e. Радиоактивный распад — e. Тепло остывающего тела — e. Сложные проценты — e. Вероятность нормального распределения — e. Природа использует e всякий раз, когда говорит «расти пропорционально себе»4.
В тождестве Эйлера eiπ + 1 = 0 встречаются пять важнейших констант — 0, 1, π, e и i — и это, вероятно, самое неожиданное совпадение в истории математики2. Но если смотреть через определение «неподвижная точка дифференцирования», совпадение становится менее загадочным: i — это поворот на четверть оборота, π — это полный полу-оборот, и связь между ними — это в точности то, что делает e на комплексной плоскости.
eiπ + 1 = 0 — пять констант в одном уравнении. e, i, π, 1, 0. Каждая из них открыта независимо, в разные эпохи, по разным поводам. То, что они оказались связаны одним равенством, математики называют самым красивым фактом во всей математике.
Бернулли спрашивал про деньги. Природа отвечает про время.