Introductio in Analysin Infinitorum
| год | 1748 |
| полное название | «Introductio in Analysin Infinitorum» · два тома |
| автор | Леонард Эйлер · 1748 |
| язык | латинский |
| жанр | математический трактат |
| идея | функция как центральный объект анализа · e · π · sin/cos через степенные ряды |
| связано | число e · число π · формула Эйлера |
Книга, которая поставила функцию в центр математики.
до Эйлера анализ был о кривых и площадях. Эйлер сделал его о функциях. И попутно дал математике большую часть её нотации.
Эйлер написал «Introductio» в 1748 году. Ему было 40 лет. Он был слеп на один глаз. И он был самым продуктивным математиком в истории1.
До «Introductio» центральным объектом анализа была кривая. Эйлер сместил фокус: центральный объект — функция. f(x) — правило, которое каждому x ставит в соответствие значение. Это кажется очевидным. До Эйлера — не было4.
В «Introductio» Эйлер показал, что синус и косинус можно выразить через экспоненту с мнимым показателем: e^(ix) = cos(x) + i·sin(x). При x = π: e^(iπ) = −1, то есть e^(iπ) + 1 = 0. Пять констант. Одно уравнение3.
«Читайте Эйлера, читайте Эйлера — он учитель всех нас.» — Пьер-Симон Лаплас.
Эйлер также показал, что e можно выразить как сумму ряда: e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … И что π²/6 = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … (базельская задача)2.
Нотация, которую мы используем сегодня, — во многом от Эйлера: f(x) для функции · e для основания логарифма · i для мнимой единицы · π для числа пи · Σ для суммы. Эйлер не изобрёл все эти символы — но именно он сделал их стандартными.
«Introductio» — первый современный учебник анализа. Все учебники после него идут по его следам.