Пять чисел. Одно уравнение.
eiπ + 1 = 0 — формула Эйлера объединяет пять фундаментальных констант. математики называют её самой красивой. но красота здесь не метафора.
Есть пять чисел, которые математики считают фундаментальными. 0 — аддитивная нейтраль, начало числовой прямой. 1 — мультипликативная нейтраль, начало умножения. e — основание натурального логарифма, неподвижная точка дифференцирования. i — мнимая единица, поворот на 90°. π — отношение длины окружности к диаметру.
Формула Эйлера: eiπ + 1 = 0. Все пять в одном равенстве. Ни одного лишнего символа, ни одной лишней операции. Каждая константа появляется ровно один раз1.
Откуда она берётся? Эйлер доказал в 1748 году более общее тождество: eix = cos x + i·sin x для любого вещественного x. Подставим x = π: eiπ = cos π + i·sin π = −1 + 0 = −1. Прибавим 1 к обеим сторонам: eiπ + 1 = 0.
Но почему eix = cos x + i·sin x? Доказательство — через степенные ряды2. Ряд Тейлора экспоненты: ex = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + …. Ряды для синуса и косинуса: cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …; sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − ….
Подставим ix вместо x в ряд для ex. Степени i циклятся: i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, и дальше повторяется. Чётные степени дают вещественные слагаемые, нечётные — мнимые. После пересборки оказывается, что вещественная часть — это в точности cos x, а мнимая — i·sin x. Тождество доказано не магией, а арифметикой степенных рядов.
Это уравнение — самое замечательное в математике. — Ричард Фейнман
Почему это считают красивым? Потому что формула связывает три разных мира. e и натуральный логарифм — анализ, непрерывность, рост; они появляются в задачах о росте и распаде. π — геометрия, окружности, тригонометрия; они появляются там, где есть форма и круговое движение. i — алгебра, расширение поля вещественных чисел; они появляются там, где надо извлекать корни из отрицательного.
Эти три константы открывались независимо в разных контекстах разными людьми. Π знали ещё в Вавилоне за две тысячи лет до Пифагора. e появилось у Бернулли в задаче о банковских процентах в 1683 году. i придумал Кардано в 1545 году как технический трюк для решения кубических уравнений. Никто из них не подозревал, что эти три величины окажутся связаны одной строкой.
Геометрически формула Эйлера выглядит совсем просто. Умножение на eiθ — это поворот на угол θ радиан в комплексной плоскости. eiπ — поворот на π радиан, то есть на полу-оборот. Точка 1 после такого поворота переходит в −1. Формула Эйлера — это просто запись того, что поворот на 180° переводит единицу в её отражение3.
Но именно эта простота геометрической интерпретации делает формулу глубокой. Экспонента, изначально определённая как «непрерывное умножение по чуть-чуть», на комплексной плоскости оказывается тем же, что вращение. Это не аналогия — это математический факт. И он связывает рост с поворотом, анализ с геометрией.
В опросах математиков формула Эйлера регулярно занимает первое место среди «самых красивых». Красота здесь означает максимум содержания при минимуме символов. Пять констант, три операции (умножение, возведение в степень, сложение), один знак равенства — и связь между всеми главными ветками математики становится одной строкой.