Греки считали, что числа — это меры реальных вещей, и потому ноль числом быть не мог: невозможно иметь ничего как количество. Аристотель прямо говорил, что пустоты в природе нет, и поэтому ноль не нужен. Геометрически это работало — в евклидовой геометрии нуля нет, есть только точка, и точка не есть число.

В Вавилоне ноль появился как заполнитель — пустое место в позиционной записи, чтобы отличить 12 от 102. Но это был не объект, а отсутствие объекта1. По-настоящему ноль стал числом в Индии, у Брахмагупты в 628 году. Он первым записал правила арифметики с нулём: a + 0 = a, a × 0 = 0, a − 0 = a. И впервые задал вопрос, что такое 0 ÷ 0 — и сам не нашёл удовлетворительного ответа2.

Ноль — это не отсутствие числа. Это число, обозначающее отсутствие.

В Европу ноль пришёл через арабские переводы и труды Фибоначчи в XII–XIII веках. Воспринят был неохотно. Флоренция в 1299 году запретила использование арабских цифр в банковских записях — потому что нолю слишком легко было приписать единицу слева, превратив 0 в 10. Запрет действовал до XV века.

Деление на ноль до сих пор остаётся одним из мест, где математика отказывается работать. Почему нельзя делить на ноль? Потому что деление — это обратное умножение. x / a = b означает b × a = x. Если a = 0, то b × 0 = 0 для любого b — нет единственного ответа, любое число подходит. Или ни одно — если x ≠ 0. Математика требует единственности. Поэтому деление на ноль просто не определено4.

Вавилоняне (~2000 до н.э.) использовали пробел как разделитель — но не как число. Майя (~IV век н.э.) изобрели ноль как цифру независимо от Индии: символ-ракушка стал у них полноценным числом. Брахмагупта в 628 году первым описал арифметику нуля: 0 + x = x, 0 − x = −x, 0 × x = 0. Но что такое x ÷ 0? Брахмагупта написал: «ноль, делённый на ноль, равен нулю». Это неверно. Потребовалось ещё несколько веков, чтобы понять почему.

Ноль — начало координат. Ноль градусов Кельвина — абсолютный ноль, нижняя граница температуры. Ноль в информатике: массивы начинаются с индекса 0. Это не соглашение — это математически более чисто. n-й элемент находится на расстоянии n от начала.

Ноль — это не отсутствие числа в записи. Это специальный объект, без которого позиционная запись, отрицательные числа, исчисление пределов, аксиоматика поля — всё рушится. Самое последнее по времени из «простых» чисел оказалось одним из самых необходимых.