| обозначение | ℤ — от нем. Zahlen (числа) · Гаусс |
| элементы | …−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3… |
| мощность | ℵ₀ · счётное множество · |ℤ| = |ℕ| |
| свойства | группа по сложению · кольцо по умножению |
| содержит | ℕ ⊂ ℤ |
| содержится | ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ |
| связано | натуральные · рациональные · ноль · mod |
Числа в обе стороны.
натуральные числа идут вправо — 1, 2, 3, 4… целые идут в обе стороны. добавление нуля и отрицательных чисел — не очевидный шаг.
Натуральные числа возникли из счёта. Один камень. Два камня. Три камня. Но что, если камней стало меньше, чем было? Что, если долг превышает имущество?
Отрицательные числа появились из практики. Китайские математики использовали их для долгов ещё в III веке до н.э. В «Девяти главах математического искусства» — красные счётные палочки для положительных, чёрные для отрицательных1.
В Европе отрицательные числа долго считали бессмысленными. Декарт называл их «ложными». Паскаль писал, что вычитание 4 из 0 — чистая бессмыслица. Постепенно практика победила скептицизм2.
«Бог создал натуральные числа — всё остальное дело рук человеческих.» — Леопольд Кронекер.
Целые числа ℤ — это натуральные числа, их отрицательные копии и ноль. ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}3.
Целые числа образуют кольцо: можно складывать, вычитать и умножать — результат всегда целый. Но деление — нет: 7 ÷ 2 = 3.5 ∉ ℤ. Для деления нужны рациональные числа.
Мощность ℤ равна мощности ℕ — оба счётны. Кантор доказал это, построив биекцию: 0 → 0, 1 → 1, −1 → 2, 2 → 3, −2 → 4, … Целых «не больше», чем натуральных, — хотя они содержат натуральные. Это парадокс бесконечных множеств4.