Бесконечностей много.
бесконечность — не одна. Кантор доказал, что некоторые бесконечности больше других. это одна из самых странных истин в математике. счётная и несчётная. ℵ₀ и 𝔠. отель Гильберта.
Бесконечность долго считалась одной. Бесконечно большой — и всё. Аристотель различал «потенциальную» бесконечность (можно продолжать вечно) и «актуальную» (существует как завершённое целое). Актуальную он считал невозможной.
Кантор с этим не согласился.
В 1873 году он поставил вопрос: можно ли пронумеровать все рациональные числа натуральными? То есть — равномощны ли ℚ и ℕ? Интуиция говорит: нет. Рациональных чисел «намного больше». Между 0 и 1 их бесконечно много — 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, … А натуральных в этом промежутке — ноль.
Но интуиция ошибается. Кантор построил таблицу всех дробей p/q и обошёл её по диагонали — зигзагом. Каждой дроби он поставил в соответствие натуральное число. Получилась биекция: |ℚ| = |ℕ| = ℵ₀. Значит натуральные, целые и рациональные числа — одной мощности. Все они счётны: их можно пронумеровать натуральными числами.
А вещественные числа?
Кантор доказал, что вещественные несчётны. Метод — диагональный аргумент (1891). Предположим, что все вещественные числа от 0 до 1 пронумерованы: r₁ = 0.a₁₁ a₁₂ a₁₃ …, r₂ = 0.a₂₁ a₂₂ a₂₃ …, r₃ = 0.a₃₁ a₃₂ a₃₃ … Построим число d: первая цифра d отличается от a₁₁, вторая — от a₂₂, n-я — от aₙₙ. Тогда d отличается от каждого rₙ хотя бы одной цифрой. Значит d не входит в список — хотя d ∈ [0, 1]. Список неполон. |ℝ| > ℵ₀1.
«Я вижу это — но не верю в это.» — Кантор · письмо Дедекинду · после доказательства |ℝ| > |ℕ|.
Мощность вещественных чисел обозначают 𝔠 (континуум). 𝔠 = 2ℵ₀ = |℘(ℕ)| — мощность множества всех подмножеств натуральных чисел4.
Отель Гильберта — мысленный эксперимент Давида Гильберта2. Отель с бесконечным числом номеров — и все заняты. Приехал ещё один гость. Решение: переселить каждого из номера n в номер n+1. Номер 1 освободился.
Приехал автобус с бесконечным числом пассажиров. Решение: переселить каждого из номера n в номер 2n. Освободились все нечётные номера — бесконечно много. Но приехало бесконечно много автобусов с бесконечным числом пассажиров. Это уже сложнее — но и здесь есть решение через ту же диагональ Кантора.
Теперь представим отель с 𝔠 пассажирами. Для них уже нет места — даже в бесконечном отеле. 𝔠 > ℵ₀.
Что между ℵ₀ и 𝔠? Континуум-гипотеза Кантора: ничего. 𝔠 = ℵ₁ — следующий кардинал после ℵ₀. Гильберт поставил её первой из своих 23 проблем в 1900 году. Гёдель показал в 1940: континуум-гипотезу нельзя опровергнуть в ZFC. Коэн показал в 1963: нельзя и доказать. Она независима от аксиом. Математика не может решить, истинна она или нет3.
Иерархия бесконечностей: ℵ₀ < ℵ₁ < ℵ₂ < … < ℵ_ω < … И эта иерархия сама бесконечна. Бесконечностей бесконечно много.