Кантор придумал способ сравнивать бесконечные множества — биекцию. Два множества «одинакового размера», если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие. Натуральных чисел столько же, сколько чётных — парадоксально, но доказуемо: 1↔2, 2↔4, 3↔6, и так далее.

Натуральных чисел столько же, сколько рациональных — Кантор построил явную биекцию через табличку и диагональное обхождение. И тот же диагональный метод дал ему совершенно другой результат для вещественных.

Доказательство несчётности вещественных идёт от противного. Предположим, что все вещественные числа отрезка [0, 1] перечислены: r₁, r₂, r₃, …. Запишем их десятичные разложения столбиком. Возьмём первую цифру первого числа, изменим её. Возьмём вторую цифру второго — изменим. И так далее, по диагонали. Получим число, которое не равно ни одному из перечисленных1. Противоречие — значит, перечисление невозможно.

Кантор сделал бесконечность не одной, а бесконечно многой.

Натуральные и вещественные — это разные бесконечности. Кантор обозначил их ℵ₀ и ℵ₁ (точнее, мощность континуума 𝔠). А теорема Кантора в общем виде говорит больше: для любого множества A множество всех его подмножеств P(A) строго больше2. Иерархия бесконечностей не заканчивается — она сама бесконечна.

Современники Кантора не приняли это открытие. Леопольд Кронекер, его учитель, называл теорию множеств «болезнью» и блокировал Кантору публикации и кафедры. Анри Пуанкаре считал её «патологией, от которой математика когда-нибудь излечится». Кантор провёл последние годы жизни в депрессии и психиатрических клиниках3.

А математика приняла его теорию полностью. Сегодня теория множеств — фундамент почти всех её разделов, от анализа до топологии. Гипотеза континуума, спрашивающая, есть ли бесконечность строго между ℵ₀ и 𝔠, оказалась независима от стандартных аксиом — Гёдель доказал её непротиворечивость с ZFC, Коэн доказал, что её отрицание тоже непротиворечиво. Бесконечности оказались ещё страннее, чем думал Кантор.