Кубические уравнения вида x³ + px + q = 0 имели формулу решения уже в XVI веке у Кардано. Но иногда формула требовала извлечь квадратный корень из отрицательного числа — и казалось, что в этом случае уравнение просто неразрешимо. Странность была в том, что у уравнения видимым образом было решение — например, при p = −15, q = −4 один из корней был x = 4. И всё же формула давала корень из отрицательного.

Бомбелли в 1572 году догадался формально продолжить вычисление, как если бы √−1 было чем-то определённым. После сокращения мнимые слагаемые исчезали, и оставался реальный ответ. Так родились комплексные числа — не как описание чего-то существующего, а как технический трюк, который работает1.

Комплексные числа — язык природы, который мы случайно изобрели для решения задач.

Геометрический смысл появился через двести лет — у Весселя, Аргана, Гаусса. Каждое комплексное число a + bi — это точка на плоскости с координатами (a, b). Умножение на i — это поворот на 90°. Возведение в степень — это спираль. Формула Эйлера e^iπ + 1 = 0 связывает в одно равенство пять важнейших констант — и оказывается следствием того, что вращение и экспонента на комплексной плоскости — одно и то же2.

Самое неожиданное началось в XX веке. Уравнение Шрёдингера, описывающее квантовую механику, содержит i не как удобство, а как фундамент: волновая функция принимает комплексные значения, и без этого квантовая механика не работает3. То, что начиналось как трюк для кубических уравнений, оказалось языком, на котором говорят электроны.

«Мнимое» оказалось более реальным, чем многие настоящие числа.