Числовая прямая — интуитивный образ. Бесконечная линия, где каждой точке соответствует число. Вещественные числа ℝ — это все точки числовой прямой1.

Рациональные числа плотны: между любыми двумя рациональными есть ещё рациональное. Но они не покрывают прямую полностью. √2 — иррациональное. π — иррациональное. e — иррациональное. Между рациональными числами — бесконечно много дыр.

Вещественные числа заполняют эти дыры. ℝ = ℚ ∪ (иррациональные). Иррациональные бывают двух видов: алгебраические (√2, ∛5 — корни многочленов с целыми коэффициентами) и трансцендентные (π, e — не корни никаких таких многочленов)3.

«Непрерывность числовой прямой — глубокая идея, которую математики формализовали только в XIX веке.»

Мощность ℝ несчётна: |ℝ| = 𝔠 = 2^ℵ₀ > ℵ₀. Кантор доказал это диагональным аргументом. Вещественных чисел «больше», чем натуральных, — их нельзя пронумеровать2.

Вещественные числа — полное упорядоченное поле. Полнота означает: любая ограниченная последовательность имеет предел в ℝ. Это ключевое свойство для математического анализа. Без него производные и интегралы не определены корректно4.

Следующий шаг — комплексные числа ℂ. В ℝ уравнение x² + 1 = 0 не имеет решений. В ℂ — имеет: x = ±i. Комплексные числа алгебраически замкнуты.