| обозначение | ℚ — от лат. quotiens (частное) |
| элементы | p/q где p, q ∈ ℤ · q ≠ 0 |
| примеры | 1/2 = 0.5 · 1/3 = 0.333… · 22/7 ≈ π |
| мощность | ℵ₀ · счётное множество · |ℚ| = |ℕ| |
| содержит | ℤ ⊂ ℚ |
| содержится | ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ |
| связано | целые · вещественные · √2 · mod |
Числа, которые можно записать дробью.
рациональное число — любое, которое можно записать как p/q. их бесконечно много. они плотно покрывают числовую прямую. и всё равно оставляют бесконечно много дыр.
Рациональное число — дробь p/q, где p и q целые и q ≠ 0. 1/2, 3/4, −7/3, 22/7, 0 = 0/1, 5 = 5/1. Все целые числа — частный случай рациональных.
Десятичная запись рациональных чисел всегда конечная или периодическая. 1/4 = 0.25 (конечная). 1/3 = 0.333… (период 3). 1/7 = 0.142857142857… (период 142857). Это критерий: число рационально тогда и только тогда, когда его десятичная запись конечна или периодична2.
Рациональных чисел «много» — между любыми двумя находится бесконечно много других рациональных. Это называется плотностью3.
«Пифагорейцы обнаружили, что √2 иррационально, — и это был кризис их мировоззрения.»
Тем не менее рациональные счётны: |ℚ| = ℵ₀. Кантор доказал это диагональным методом для дробей4.
Между рациональными числами есть дыры. √2 ≈ 1.41421356… — иррациональное число. Его нельзя записать как p/q. Это доказали пифагорейцы — и были потрясены. Считалось, что все числа рациональны. Оказалось — нет.
Иррациональных чисел не просто много — их несчётно много. |ℝ \ ℚ| = 𝔠 > ℵ₀. Рациональные числа — как редкие острова в море иррациональных1.