Вавилонская табличка Плимптон 322, датируемая примерно 1800 годом до нашей эры, содержит пятнадцать пифагоровых троек — за тысячу лет до Пифагора. Египтяне натягивали верёвку с узлами в отношении 3 — 4 — 5, чтобы получить прямой угол при разметке полей и закладке храмов. Теорему знали все — просто не доказывали1.

Пифагор (или его школа — историчность личного авторства спорна) дал первое доказательство. Это изменило статус утверждения: из практического наблюдения оно стало математической истиной. Доказанное утверждение — навсегда. Наблюдённое — только до следующего опровержения.

Теорема Пифагора — это не факт о треугольниках. Это факт о пространстве.

С тех пор математики доказывали её снова и снова. Президент США Джеймс Гарфилд придумал собственное доказательство через площадь трапеции — в 1876 году, ещё до президентства2. Эйнштейн в детстве вывел доказательство через подобие треугольников. Существуют доказательства алгебраические, геометрические, комбинаторные, через скалярное произведение, через площади, через подобие. Всего известно более 370 — ни одна другая теорема не имеет столько.

Почему так много? Потому что теорема Пифагора стоит на пересечении геометрии, алгебры и анализа. Каждый новый математический язык позволяет сказать то же самое по-новому. Она же — определяющее свойство евклидова пространства: евклидова метрика — это в точности теорема Пифагора, обобщённая на n измерений3. В неевклидовой геометрии она ложна, и её ложность — это и есть «неевклидовость».

Следствие, которое потрясло пифагорейцев: диагональ единичного квадрата равна √2. По теореме Пифагора 1² + 1² = c², откуда c = √2. И это число, как доказали те же пифагорейцы, нельзя выразить как отношение целых. Их картина мира, в которой всё выражается через рациональные числа, рухнула.

Теорему, которую они открыли, разрушила их же собственную теорию. Так часто бывает в математике: правильный ответ ломает модель, которая его породила.