| сформулировал | Бернард Риман · 1859 · в единственной статье по теории чисел |
| статус | не доказана · не опровергнута · 167 лет |
| премия | $1 000 000 · институт Клэя · проблема тысячелетия |
| проверено | первые 1013 нетривиальных нулей лежат на критической прямой |
| следствие | точное описание распределения простых чисел |
| связано | простые числа · дзета-функция · гипотеза Гольдбаха |
Миллион долларов за понимание простых.
гипотеза Римана — это вопрос о том, где прячутся нули одной функции. и о том, как устроены простые числа.
В 1859 году Бернард Риман написал единственную статью по теории чисел — восемь страниц. Она изменила математику. В ней он предложил использовать комплексный анализ для изучения распределения простых чисел — связь, которая до него казалась невозможной1.
Инструмент — дзета-функция ζ(s). При вещественных s > 1 она сходится: ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + …. Эйлер ещё в 1737 году заметил, что её можно записать как произведение по простым числам: ζ(s) = ∏(1 − p−s)−1. Это и есть мост между анализом и арифметикой.
Риман продолжил функцию аналитически на всю комплексную плоскость и обнаружил у неё нули — точки, где ζ(s) = 0. Тривиальные нули — в отрицательных чётных целых: −2, −4, −6, …. Нетривиальные — в полосе 0 < Re(s) < 1.
Если бы я проснулся после тысячелетнего сна — первый вопрос был бы: доказана ли гипотеза Римана? — Гильберт
Гипотеза Римана: все нетривиальные нули лежат ровно на прямой Re(s) = ½. Звучит технически. Но следствие — конкретное и сильное. Если гипотеза верна, мы знаем, насколько точно простые числа следуют формуле π(n) ≈ Li(n): отклонение оценивается величиной O(√n · ln n). Без гипотезы у нас нет такой оценки.
Простые числа не случайны, и гипотеза Римана — это утверждение о том, какова именно мера их неслучайности. Каждый нетривиальный нуль — это «гармоника» в распределении простых: вместе они складываются в точную формулу для π(n). Если хотя бы один нуль сходит с критической прямой — формула меняется, и все наши оценки распределения простых разваливаются.
Проверено компьютером: первые 1013 нетривиальных нулей лежат на критической прямой. Но «проверено для очень многих случаев» — не доказательство. В математике контрпример может скрываться как угодно далеко2.
167 лет спустя гипотеза остаётся открытой. Институт Клэя включил её в список семи проблем тысячелетия — миллион долларов за доказательство. Шесть из семи не решены. Одна решена — гипотеза Пуанкаре, доказал Перельман в 2003. От премии и медали Филдса он отказался3.
А Риман умер в 1866 году в 39 лет, не дожив до того дня, когда его восьмистраничная статья превратится в главную нерешённую проблему математики.