По мере роста чисел простые становятся реже — это следует из теоремы о простых числах, которая утверждает, что плотность простых на отрезке [1, n] асимптотически равна 1/ln n. На больших числах простых становится всё меньше. Кажется, что и пар вида (p, p+2) — близнецов — должно становиться меньше, и в какой-то момент они кончатся.

Но никто не может это доказать. И опровергнуть тоже не может. Известные близнецы уходят очень далеко: пара 2 996 863 034 895 · 2^{1 290 000} ± 1, найденная в 2016 году, имеет более 388 тысяч знаков1. И всё же — конечно их число или нет, мы до сих пор не знаем.

Мы знаем, что близнецы редеют. Мы не знаем — исчезают ли они.

В 2013 году случился неожиданный прорыв. Малоизвестный математик Чжан Итан, работавший в университете Нью-Гэмпшира, опубликовал доказательство: существует бесконечно много пар простых, отстоящих друг от друга не более чем на 70 000 0002. Это не 2 — но это уже не «возможно бесконечность». Это бесконечность с конкретной верхней границей.

Математическое сообщество немедленно бросилось улучшать результат. Запустился открытый коллаборативный проект Polymath8: десятки математиков по всему миру вместе оптимизировали границу. За несколько месяцев она опустилась до 4680. В 2014 году Джеймс Мейнард независимо разработал другой метод и довёл границу до 2463. Polymath8 догнал. И на этом — застряло.

Между 246 и 2 — пропасть, которая оказалась принципиальной. Существующие методы упираются в так называемый «барьер чётности» — техническое ограничение, которое не позволяет опуститься ниже 6 без принципиально нового подхода.

Гипотеза о близнецах — частный случай гипотезы Полиньяка (1849): для каждого чётного k существует бесконечно много пар простых с разностью ровно k. Если близнецы доказать удастся, остальные случаи скорее всего пойдут вместе. Если не удастся — мы продолжим жить в мире, где простых, отстоящих на 2, видимо очень много, но мы не знаем точно сколько.