| равенство | 1 + 2 + 3 + … = −1/12 (регуляризация) |
| строгий смысл | ζ(−1) = −1/12 — аналитическое продолжение дзета-функции Римана |
| не означает | что ряд «обычно» сходится к −1/12 — он расходится |
| применение | теория струн · эффект Казимира · квантовая теория поля |
| парадокс | физики используют это равенство и получают экспериментально верные ответы |
| связано | ζ-функция · гипотеза Римана · ∑ |
Сумма всех натуральных чисел.
1 + 2 + 3 + 4 + … расходится. это очевидно. и всё же физики пишут, что эта сумма равна −1/12. и получают правильные ответы.
Есть ролик на YouTube, где канал Numberphile пишет: 1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12. Восемь миллионов просмотров. Тысячи возмущённых математиков в комментариях. Физики пожимают плечами: «мы знаем, и всё равно используем»1.
Начнём с того, что верно. Ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … расходится. Это однозначно: частичные суммы 1, 3, 6, 10, 15, … растут без ограничений и ни к какому конечному пределу не стремятся. В стандартном смысле, в котором «сумма ряда» — это предел частичных сумм, никакой суммы не существует.
Но есть другие смыслы. И один из них даёт −1/12.
Дзета-функция Римана: ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + …. При s > 1 этот ряд сходится. При s = 2 его значение знаменитое — π²/6 (Эйлер, 1734). Риман в 1859 году аналитически продолжил функцию ζ на всю комплексную плоскость, и аналитическое продолжение единственно. При s = −1 это продолжение даёт ζ(−1) = −1/12.
Математика позволяет нам присваивать значения тому, что значения не имеет — и это работает.
При s = −1 формула ряда выглядит как 1 + 2 + 3 + 4 + … — это и есть наш расходящийся ряд. Но ζ(−1) = −1/12 — это не «сумма ряда». Это значение функции в точке s = −1, где сам ряд уже не сходится. Эти два понятия совпадают в области сходимости (s > 1) — а вне её аналитическое продолжение и есть единственный осмысленный способ говорить о значении.
Регуляризация Рамануджана — другой метод суммирования расходящихся рядов, придуманный независимо в начале XX века. Он даёт тот же ответ: 1 + 2 + 3 + … = −1/12 в смысле Рамануджана. Это не магия — это альтернативное определение того, что мы называем «суммой». При нём арифметика расходящихся рядов становится самосогласованной2.
Почему физики этим пользуются? В квантовой теории поля и теории струн часто возникают бесконечные суммы вкладов от состояний с разной энергией. Если просто записывать их буквально — получится ∞. Если регуляризовать через ζ-функцию — получится конечное число, и это число оказывается экспериментально проверяемым. Эффект Казимира — притяжение между двумя незаряженными металлическими пластинами в вакууме — вычисляется именно через ζ(−3) и связанные значения. Сила, измеренная в эксперименте Спарнаая в 1958 году, совпала с теоретическим расчётом, который опирается на «нелегальное» суммирование расходящегося ряда3.
−1/12 не означает, что 1 + 2 + 3 + … равно −1/12 в школьном смысле слова «равно». Это означает, что аналитическая функция, совпадающая с этой суммой в области сходимости, принимает значение −1/12 в точке аналитического продолжения. Это разные утверждения, и физики этим пользуются осознанно. Математики возмущаются — на самом деле — не самой формулой, а тем, как её преподносят без оговорок: с оговорками всё корректно, без — выглядит абсурдно.
В этом и есть прелесть −1/12: оно показывает, что «сумма» — не одно понятие, а целое семейство, и иногда полезно выбрать самое странное из них.