| обозначение | ℵ₀ · алеф-ноль · алеф-нуль |
| тип | трансцендентный кардинал · бесконечный |
| ввёл | Георг Кантор, 1883 |
| мощность | |ℕ| = |ℤ| = |ℚ| = ℵ₀ |
| следующий | ℵ₁ — следующий кардинал после ℵ₀ |
| гипотеза | континуум-гипотеза: |ℝ| = ℵ₁? — независима от ZFC |
| связано | натуральные числа · теорема Кантора · ZFC · бесконечность |
Бесконечностей много. Эта — наименьшая.
бесконечность — не одна. их бесконечно много. ℵ₀ — самая маленькая из них. мощность натуральных чисел. Кантор доказал, что она меньше мощности вещественных чисел.
Бесконечность долго считалась одной. Бесконечно большой — и всё. Кантор в 1883 году показал, что это не так1.
Начнём с вопроса: чего больше — натуральных чисел или чётных? Интуиция говорит: натуральных в два раза больше. Но интуиция ошибается. Кантор предложил считать множества равномощными, если между ними можно построить взаимно однозначное соответствие. Натуральные ↔ чётные: 1↔2, 2↔4, 3↔6, 4↔8, … Каждому натуральному соответствует ровно одно чётное. Значит их поровну.
Это кажется парадоксом. Но это определение. Часть бесконечного множества может быть равномощна целому — это и есть отличие бесконечных множеств от конечных.
Мощность натуральных чисел Кантор обозначил ℵ₀. Алеф — первая буква еврейского алфавита. Ноль — потому что это наименьший бесконечный кардинал. ℵ₀ = |ℕ| = |ℤ| = |ℚ|.
Натуральные, целые и рациональные числа — одной мощности. Это удивительно: рациональных чисел «намного больше» — между любыми двумя натуральными есть бесконечно много рациональных. Но мощность та же. Доказательство для ℚ: диагональный обход таблицы дробей p/q. Каждую дробь можно пронумеровать натуральным числом. Значит |ℚ| = ℵ₀.
А вещественные числа?
Кантор доказал, что |ℝ| > ℵ₀. Доказательство: предположим, что все вещественные числа от 0 до 1 можно пронумеровать r₁, r₂, r₃, … Построим число d так, чтобы i-я цифра d отличалась от i-й цифры rᵢ. Тогда d отличается от каждого rᵢ хотя бы одной цифрой. Значит d не входит в список — противоречие. Список не может быть полным. |ℝ| > ℵ₀2.
«Я вижу это, но не верю в это.» — Кантор в письме Дедекинду после доказательства, что |ℝ| > |ℕ|.
Мощность вещественных чисел обозначают 𝔠 (континуум). 𝔠 = 2ℵ₀.
Что между ℵ₀ и 𝔠? Континуум-гипотеза Кантора: ℵ₁ = 𝔠 — нет кардинала строго между ℵ₀ и мощностью вещественных. Гильберт поставил её первой в списке 23 проблем в 1900 году. Гёдель в 1940 показал: континуум-гипотезу нельзя опровергнуть в ZFC. Коэн в 1963 показал: её нельзя доказать в ZFC. Она независима от аксиом — ни истинна, ни ложна в рамках ZFC3.
ℵ₀ — это не просто «бесконечность». Это конкретный математический объект с точным определением. Первый член бесконечной иерархии: ℵ₀ < ℵ₁ < ℵ₂ < … — и эта последовательность сама бесконечна4.