История нуля.
самое позднее изобретение в математике. и самое важное. тысячи лет люди считали без нуля — не потому что были глупы, а потому что ноль не очевидная идея.
Тысячи лет люди считали без нуля. Египтяне строили пирамиды — без нуля. Греки открыли теорему Пифагора — без нуля. Римляне создали империю — без нуля. В латинском языке нет даже слова для нуля.
Это не случайно. Ноль — неинтуитивная идея. Если у тебя нет яблок — зачем об этом говорить? Пустота не требует обозначения. Чтобы ноль стал нужен, должна была появиться позиционная запись — где «ничего» в одной позиции отличает 12 от 102.
Первыми к нулю приблизились вавилоняне. Около 700 до н.э. они начали использовать специальный знак-разделитель — чтобы различать 1, 10 и 100 в позиционной записи. Но это был разделитель, не число. Нельзя было написать «0» в конце числа. Нельзя было вычислить 5 − 5.
Майя независимо изобрели ноль — около IV века н.э. Символ — стилизованная ракушка. Они использовали его в календарных расчётах. Но майя и вавилоняне были изолированы. Их ноль не распространился дальше своих культур1.
«Изобретение нуля — величайшее достижение человеческого разума.» — Пьер-Симон Лаплас.
Решающий шаг сделала Индия. Около 628 года н.э. математик Брахмагупта написал «Брахмаспхутасиддханту» — первый текст, где ноль трактуется как полноценное число. Он дал правила арифметики с нулём: a + 0 = a · a − 0 = a · a × 0 = 01.
И столкнулся с проблемой: a ÷ 0 = ? Брахмагупта написал: «ноль, делённый на ноль, равен нулю». Это неверно. Но сам вопрос был поставлен правильно. Потребовалось ещё двенадцать веков, чтобы ответить: деление на ноль не определено.
Из Индии ноль попал в арабский мир. Аль-Хорезми в IX веке описал индийскую систему счисления с нулём. Его имя дало слово «алгоритм». Слово «цифра» — от арабского «сифр», ноль. Сама математика выучила язык нуля у арабов2.
В Европу ноль пришёл через Фибоначчи. В 1202 году он написал «Liber Abaci» — книгу, которая познакомила Европу с индо-арабскими цифрами. Фибоначчи видел новую систему в торговых поездках по Северной Африке. Ноль делал вычисления быстрее. Купцы оценили3.
Европейские математики сопротивлялись. Ноль казался подозрительным — число, которое ничего не значит? В некоторых городах торговля с использованием нуля была запрещена. Считалось, что нулём легко манипулировать записями: 0 в начале легко превратить в 10. Флоренция в 1299 году официально запретила арабские цифры в банковских книгах.
Но ноль победил по практическим причинам. Записать 1000 в римской системе: M. В арабской с нулём: 1000. Перемножить MCMXCIX на XIV — ад. Перемножить 1999 на 14 — несложно4.
Сегодня ноль — фундамент всей математики. Начало координат. Нейтральный элемент сложения. Граница между положительными и отрицательными числами. Первый элемент в большинстве языков программирования. Абсолютный ноль температуры в физике.
Но главное: ноль позволил записывать отсутствие. Это кажется тривиальным — пока не думаешь о том, что тысячи лет самые умные люди обходились без этого. Самая поздняя из «обычных» цифр оказалась самой важной — потому что без неё не работают остальные.