По определению простое число — это число больше единицы, делящееся только на 1 и на себя. «Больше единицы» — оговорка, которую часто пропускают, и которая часто кажется произвольной. Зачем исключать единицу? Она ведь подходит под определение, если убрать это «больше».

Причина — основная теорема арифметики. Она говорит, что любое натуральное число больше единицы единственным образом раскладывается в произведение простых. Например, 12 = 2 × 2 × 3, и никаких других разложений нет. Если включить единицу в простые, то 12 = 1 × 2 × 2 × 3 = 1 × 1 × 2 × 2 × 3 = …, и единственность пропадает1.

Единица — это не маленькое простое. Это единственный случай, который должен стоять отдельно, чтобы остальное работало.

Исторически единицу часто относили к простым числам — у Стевина в XVI веке, у Гольдбаха ещё в 1742 году в письме Эйлеру. Современное соглашение оформилось только в XIX веке, когда стало ясно, что единственность разложения — критически важное свойство для всей теории чисел2.

В абстрактной алгебре единица обобщается до понятия «единичного элемента» — нейтрали по умножению. В кольце это элемент e, для которого e·a = a·e = a для всех a. Не во всех кольцах он есть, и в тех, где есть, он играет особую роль: единичные элементы — это те, у которых есть мультипликативный обратный, и в их множестве (группе единиц) живут все «обратимости» кольца3.

1^∞ в анализе — отдельная странность. Если f → 1 и g → ∞, то предел f^g может быть чем угодно: 1, e, ∞, 0. Знаменитое (1 + 1/n)ⁿ → e — пример именно такой неопределённости.

Единица — нейтральный элемент умножения: x × 1 = x для любого x. В теории групп это называется identity element, и каждая группа имеет ровно один такой элемент. В матрицах единичная матрица I играет ту же роль: A × I = A для любой матрицы A. В логике 1 = истина; в булевой алгебре 1 × x = x (AND с единицей не меняет значение). Единица везде играет одну роль — «ничего не менять»4.

1/1 = 1, 1/2 = 0.5, 1/3 = 0.333…, 1/n → 0 при n → ∞. Ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … расходится — несмотря на то, что члены стремятся к нулю. Ряд 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π²/6. Единица как числитель порождает целую теорию рядов.

Греки не считали единицу числом. Для них число — это множество единиц. Единица была источником чисел, но не числом сама по себе. Эта идея влияла на математику до XVII века. Именно поэтому вопрос «является ли 1 простым» так долго оставался открытым — у греков ответ был очевиден: единица вне категории, она не подлежит сравнению с числами.

Единица выглядит как самое простое из чисел. На деле она требует больше всего оговорок.