Простое число — это натуральное число больше 1, делящееся только на себя и на единицу. «Больше 1» — ключевые слова. Единица исключена намеренно. И это не вопрос вкуса, а условие, без которого арифметика теряет одно из своих важнейших свойств.

До XIX века математики иногда считали 1 простым. Стевин в XVI веке относил её к простым; Гольдбах в письме Эйлеру 1742 года ещё включал. Современное соглашение оформилось только к концу XIX — началу XX века, когда стало ясно, что единственность разложения — критически важное свойство для всей теории чисел1.

Математики исключили 1 из простых не потому, что так решили, а потому что иначе не работает.

Основная теорема арифметики говорит: каждое натуральное число больше 1 раскладывается в произведение простых единственным образом — с точностью до порядка сомножителей. 12 = 2 · 2 · 3. Только так и никак иначе.

Если считать 1 простым — единственность ломается. 12 = 1 · 2 · 2 · 3 = 1 · 1 · 2 · 2 · 3 = … Сколько угодно разных разложений. Теорема, в которой написано «единственным образом», превращается в теорему «с точностью до количества единиц», и теряет смысл.

Это типичный пример того, как в математике работают определения. Они не описывают объекты как они «есть» в природе — они выбираются так, чтобы теоремы были красивыми и общими. Когда оказывается, что определение мешает, его меняют2.

Основная теорема — это не просто факт об арифметике. Это причина существования отдельной науки — теории чисел. В кольцах с единственным разложением (UFD) теорема обобщается; в кольцах, где она не выполняется, возникают совершенно другие математические миры. Например, в ℤ[√−5] разложение неединственно: 6 = 2 · 3 = (1 + √−5)(1 − √−5)3. Это привело к созданию теории идеалов и алгебраической теории чисел.

Один маленький пункт в определении простого числа — «больше единицы» — стоит за половиной всей классической арифметики.