Начала
| год | ~300 до н.э. |
| полное название | Στοιχεῖα · «Начала» · 13 книг |
| автор | Евклид · ~300 до н.э. |
| язык | греческий |
| жанр | математический трактат |
| идея | аксиоматический метод: из минимума аксиом — весь корпус геометрии |
| переводы | более 1000 изданий · второе место по тиражу после Библии |
| связано | теорема о бесконечности простых · теорема Пифагора |
Книга, которая изобрела доказательство.
до Евклида математики знали много фактов. Евклид показал, как из нескольких очевидных аксиом доказать всё остальное.
«Начала» — не сборник открытий Евклида. Большинство теорем были известны до него. Евклид сделал другое: он организовал знание.
Структура «Начал» — аксиоматическая. 5 аксиом. 5 постулатов. Всё остальное — следствия. Из «целое больше части» и «через две точки проходит прямая» Евклид вывел сотни теорем — строго, шаг за шагом.
Это была революция в мышлении. До Евклида математика была набором рецептов. После — системой доказательств.
«Нет царской дороги к геометрии.» — Евклид Птолемею I.
13 книг «Начал» охватывают планиметрию (книги I–VI), теорию чисел (книги VII–IX) — включая доказательство бесконечности простых, — и стереометрию (книги X–XIII)1.
Книга IX, теорема 20: простых чисел бесконечно много. Доказательство — одно из самых изящных в истории математики. Предположим, что простых конечное множество: p₁, p₂, …, pₙ. Возьмём число N = p₁ × p₂ × … × pₙ + 1. N не делится ни на одно из простых — значит либо N простое, либо его делитель — новое простое не из списка. Противоречие. Простых бесконечно2.
5-й постулат Евклида — про параллельные прямые — две тысячи лет казался менее очевидным, чем остальные. В XIX веке Гаусс, Лобачевский и Бойяи построили геометрии, где он не выполняется — и они были непротиворечивы. Так появилась неевклидова геометрия. Оказалось, что аксиомы — выбор, а не истина3.