Математика звука.

Музыка — это математика, которую можно услышать. Не метафора. Буквально. Звук — это колебания давления воздуха. Музыкальный звук — периодические колебания. Периодичность — математическое свойство.

Октава — это удвоение частоты. Нота ля первой октавы — 440 Гц. Нота ля второй октавы — 880 Гц. Отношение 2:1. Это не договорённость — это физика. Струна вдвое короче колеблется вдвое быстрее. Две ноты в отношении 2:1 звучат «одинаково» — мозг воспринимает их как один и тот же звук разной высоты.

Пифагорейцы знали это. Они построили музыкальный строй на простых отношениях. Квинта — 3:2. Кварта — 4:3. Большая терция — 5:4. Чем проще отношение — тем консонанснее интервал. Это работает. Но есть проблема.

Двенадцать квинт по 3:2 должны давать семь октав по 2:1. (3/2)¹² ≈ 129.746. 2⁷ = 128. Они не равны. Разница — пифагорова комма. Строй на чистых квинтах не замыкается.

Музыка — это скрытая арифметика души, не знающей, что она считает. — Готфрид Вильгельм Лейбниц

В XVII–XVIII веках придумали темперацию. Равномерная темперация: октава делится на 12 равных полутонов. Каждый полутон = 2^1/12 ≈ 1.05946. Квинта в равномерной темперации = 2^7/12 ≈ 1.4983. Это не 3:2 = 1.5000. Разница — 0.1%. Едва слышима. Зато все тональности звучат одинаково. Бах написал «Хорошо темперированный клавир» — 24 прелюдии и фуги во всех тональностях — чтобы показать, что это работает1.

В 1822 году Жозеф Фурье доказал: любой периодический сигнал можно разложить в сумму синусов и косинусов разных частот2.

f(t) = a₀ + Σ (aₙ cos(nωt) + bₙ sin(nωt))

Это преобразование Фурье. Любой звук — это набор синусоид. Тембр скрипки отличается от тембра флейты потому, что у них разные наборы обертонов — разные коэффициенты в разложении Фурье.

MP3 использует Фурье. Алгоритм сжатия выбрасывает частоты, которые человек не слышит — и сохраняет только важные синусоиды3. Каждая музыкальная запись на телефоне — это тысячи синусоид.

Delta Machine — алгоритмическая музыка на Sonic Pi. Там нет нот в традиционном смысле. Есть частоты, длительности, вероятности. :hz — играть ноту заданной частоты. use_synth :fm — FM-синтез: один осциллятор модулирует другой. Это буквально Фурье в коде4.

В operator-stack трек «08 — Σ» использует оператор суммы. Звук буквально строится как сумма — Σ синусоид. Математика не вдохновляет музыку. Математика и есть музыка.

e^iθ = cos(θ) + i · sin(θ). Формула Эйлера связывает экспоненту с синусом и косинусом. Это не случайно: комплексная экспонента — это вращение. Периодическое вращение — это колебание. Колебание — это звук. Формула Эйлера — это математика звука в одном уравнении.