Эйлер в 1734 году доказал: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + … = π²/6. Сумма обратных квадратов натуральных чисел — точно π²/6. Это знаменитая Базельская задача, над которой математики бились девяносто лет до Эйлера. Его доказательство было нестрогим — он приравнял разложение синуса в произведение и в ряд Тейлора. Строгое доказательство появилось позже. Ответ остался тем же1.

Почему π появляется в сумме, которая, кажется, не имеет никакого отношения к окружностям? Потому что в основе разложения синуса — а оно связывает целые числа (нули sin πx стоят в целых точках) с константой π. Связь между арифметикой и геометрией прорастает в самых неожиданных формулах.

То, что 1 + 1/4 + 1/9 + … = π²/6 — одно из самых неожиданных равенств в математике.

Гармонический ряд ∑ 1/k расходится — уходит в бесконечность. Но делает это невероятно медленно. Чтобы сумма превысила 10, нужно сложить около 12 367 слагаемых. Чтобы превысила 100 — больше слагаемых, чем атомов в наблюдаемой вселенной2. Это сходимость на грани: чуть быстрее убывания (например, 1/k^1.001) — и ряд бы сошёлся.

Постоянная Эйлера-Маскерони γ описывает именно эту медленность: γ = lim_n→∞ (∑(k = 1..n) 1/k − ln n) ≈ 0.5772. Разность между гармоническим рядом и логарифмом стремится к константе — не к нулю, не к бесконечности.

∑ и ∫ — дискретное и непрерывное суммирование. Интеграл Римана определяется как предел суммы Римана при измельчении разбиения. ∑ → ∫ — это и есть идея математического анализа3. Один и тот же оператор, переводящий шаги в континуум.