Архимед в III веке до нашей эры вычислял площадь параболического сегмента методом исчерпания — вписывал во всё более мелкие треугольники, суммировал, и получал предельное значение. Это был интеграл, посчитанный за 1800 лет до Ньютона и Лейбница1. Идея существовала; не существовало нотации, языка и общего метода.

Лейбниц в 1675 году записал ∫ и dx — обозначения, которые мы используем сегодня. Символ ∫ — это вытянутая буква S от латинского summa. Интеграл — это сумма, только бесконечная и непрерывная, и Лейбниц это видел напрямую.

Интеграл Лейбница и производная Ньютона — два лица одной монеты.

Основная теорема анализа связывает дифференцирование и интегрирование: ∫(a..b) f(x) dx = F(b) − F(a), где F′ = f. Это совершенно неочевидно: почему площадь под кривой связана с обратной операцией к наклону? Ньютон и Лейбниц увидели эту связь независимо в 1660-70-х годах. Потом всю оставшуюся жизнь судились о приоритете. Доказательство связи стало одной из самых красивых конструкций в математике2.

Гауссов интеграл: ∫(−∞..∞) e^−x² dx = √π. Снова π — в интеграле от показательной функции, без видимых окружностей. И снова e — основание натурального логарифма, появляющееся в физической формуле без явной причины. Из этого интеграла вырастает нормальное распределение — колокол Гаусса. Всё, что мы знаем о статистике, стоит на этом равенстве3.

Интеграл Лебега, появившийся в 1902 году, обобщил интеграл Римана на функции, для которых римановское определение не работает. Это позволило построить корректную теорию вероятностей и квантовую механику — буквально все разделы математики XX века так или иначе опираются на лебеговское определение.

Один значок S — и за ним половина анализа.