| обозначение | G = g₆₄ |
| определение | g₁ = 3↑↑↑↑3 · gₙ = 3↑^{gₙ₋₁}3 (стрелочная нотация Кнута) |
| оценка снизу | больше любой степени числа атомов в наблюдаемой вселенной |
| последние цифры | …2464195387 (вычислимы алгоритмически) |
| первая цифра | неизвестна · даже порядок неизвестен |
| контекст | Рональд Грэм, 1971 · верхняя оценка в задаче теории Рэмси |
| связано | натуральные числа · ! · большие числа |
Число больше вселенной. Точно.
число Грэма настолько велико, что вселенная слишком мала, чтобы его записать. при этом его последние цифры известны. первая — нет.
Сначала — обычные большие числа. Миллион: 10⁶. Миллиард: 10⁹. Гугол: 10¹⁰⁰. Гуголплекс: 10гугол. Атомов в наблюдаемой вселенной — около 10⁸⁰. Это всё ничто по сравнению с числом Грэма.
Чтобы понять масштаб, нужна стрелочная нотация Кнута. 3↑3 = 3³ = 27. Обычное возведение в степень. 3↑↑3 = 333 = 3²⁷ = 7 625 597 484 987 — уже семизначное. 3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) — это «башня» из 7 625 597 484 987 троек, друг на друге возведённых в степень. Это число невозможно записать. Гуголплекс рядом с ним — пыль1.
3↑↑↑↑3 — следующий шаг. Описать его словами уже не получится, потому что слова в человеческом языке заканчиваются.
Теперь определение числа Грэма. g₁ = 3↑↑↑↑3 (то самое неописуемое число). g₂ = 3↑^{g₁}3 — то есть 3 со стрелками, которых g₁ штук. g₃ = 3↑^{g₂}3. И так до g₆₄. g₆₄ — это и есть число Грэма, обычно обозначаемое G.
Если бы все нейроны вашего мозга кодировали по одной цифре — число Грэма в него не поместится.
Зачем оно нужно? Рональд Грэм в 1971 году использовал его как верхнюю оценку в одной задаче теории Рэмси, раздела комбинаторики о неизбежной структуре в большом хаосе2. Он не утверждал, что ответ равен G — он показал, что ответ не больше G. Истинное значение, как сейчас известно, лежит между 13 и 2 ↑↑↑↑↑↑ 2 — но G всё ещё фигурирует в учебниках как иллюстрация того, какие числа возникают в реальных доказательствах.
Книга рекордов Гиннесса в 1980-х назвала число Грэма «наибольшим числом, когда-либо использованным в серьёзном математическом доказательстве». Сегодня это уже не так — функция TREE(3) больше числа Грэма примерно как число Грэма больше единицы. Но тогда G произвело впечатление и закрепилось в массовой культуре.
Парадокс: последние цифры числа Грэма известны. Существует алгоритм, позволяющий вычислить произвольное количество последних цифр — он опирается на свойства возведения в степень по модулю. На сегодня известны несколько сотен последних цифр; число заканчивается на …2464195387. Первая цифра при этом неизвестна. Даже порядок (сколько в записи цифр) неизвестен — он сам выражается через башню степеней, не помещающуюся ни в какое физическое описание3.
Математика умеет порождать числа любого размера. И большее всегда возможно. Это не парадокс — это просто то, как устроена арифметика. Удивительно не то, что G существует, а то, что он понадобился в реальном доказательстве. Бесконечность — это не вселенная, и числа из математических доказательств давно её обогнали.