Колода которой не было.
52! — количество способов перетасовать колоду карт. это число настолько велико, что каждая хорошо перемешанная колода уникальна в истории вселенной.
Возьмите колоду карт. Перемешайте её хорошо — семь риффл-тасований достаточно, доказали Диаконис и Бэйер1. Положите перед собой. С вероятностью, неотличимой от единицы, эта последовательность 52 карт никогда не существовала раньше в истории человечества. И не повторится — никогда.
Почему? 52! — количество перестановок 52 элементов. Запишем его полностью: 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000. Семьдесят знаков. Примерно 8 · 1067.
Для масштаба: атомов в наблюдаемой вселенной — около 1080. Возраст вселенной — около 4 · 1017 секунд. Если бы каждый атом во вселенной тасовал колоду раз в секунду с момента Большого взрыва, всего перетасовок получилось бы 1080 · 4 · 1017 = 4 · 1097 штук. И мы только-только дошли бы до 1097 разных колод — а 52! больше этого числа в десять миллионов миллиардов миллиардов миллиардов раз. Даже близко не подобрались бы к повторению.
Каждая перетасованная колода — событие, которого не было и не будет.
Как это возможно? Факториал растёт невероятно быстро. 52! = 52 · 51 · 50 · … · 2 · 1. Каждое умножение увеличивает результат на множитель — пусть и убывающий. Но первые множители большие: 52 · 51 · 50 = 132 600. Уже шесть знаков на третьем шаге. К десятому шагу — пятнадцатизначное число. К двадцатому — тридцатизначное.
Есть способ почувствовать масштаб через секунды. Представим, что мы выбираем карты последовательно, и каждый выбор занимает столько секунд, сколько вариантов мы перебираем. Первая карта — 52 варианта, прошла одна секунда. Вторая — 51 вариант, прошло 51 секунд. Третья — 50, прошло 50 минут. Четвёртая — 49 часов, около двух суток. Пятая — почти сто суток. Шестая — четверо суток на её предшественника, около двенадцати лет суммарно. Седьмая — больше пятисот лет. К двадцатой карте мы уходим в числа, превышающие возраст вселенной.
Это и есть комбинаторный взрыв. Он объясняет, почему задачу коммивояжёра нельзя решить простым перебором при сколько-нибудь большом числе городов. Почему взлом длинного пароля брутфорсом требует вечности. Почему шахматный движок не может «просто перебрать все партии» — даже у шахмат, не говоря о Го. Константа Шеннона — оценка числа возможных шахматных партий — около 101202. 52! ≈ 1068. Шахматы «больше» колоды, но логика та же: пространство возможных конфигураций растёт быстрее, чем любая физически достижимая мощность вычислений.
Формула Стирлинга, n! ≈ √(2πn) · (n/e)n, позволяет оценивать факториалы больших чисел без перемножения. По ней 52! сводится к √(104π) · (52/e)52 — простое выражение, которое легко вычислить логарифмически. И в формуле, что характерно, опять появляются π и e — те самые константы, которые проникают в каждую щель математики3.
Каждый раз, когда вы перетасовываете колоду, вы создаёте перестановку, которой во всей истории человечества никогда не существовало и больше никогда не будет. Не «вероятно» не было. Математически — не было. Это редкое чувство: за пять секунд ваших рук рождается событие космического масштаба уникальности, и сразу растворяется при следующем тасовании.