Сколько способов перетасовать колоду из 52 карт? 52! ≈ 8.07 · 10⁶⁷. Это семьдесят восемь знаков. Для сравнения: атомов в наблюдаемой вселенной — около 10⁸⁰. Перестановок колоды меньше, но каждая хорошо перемешанная колода с почти абсолютной уверенностью никогда не встречалась раньше в истории человечества и не встретится больше1.

Факториал растёт невероятно быстро. Быстрее любой экспоненты: для любого основания a, при достаточно большом n, n! > aⁿ. 10! = 3 628 800. 20! = 2 432 902 008 176 640 000. Между 10 и 20 — двенадцать порядков.

Каждая перетасованная колода — уникальное событие во вселенной.

Формула Стирлинга приближает факториал: n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Замечательно, что в формуле появляются и π, и e — через, казалось бы, чисто алгебраическую операцию. Откуда они там? Из перехода от дискретной суммы (логарифм факториала) к непрерывному интегралу — где геометрия и анализ начинают говорить через те же константы.

0! = 1 — по определению. Это не произвол, а логическое следствие: существует ровно один способ упорядочить пустое множество объектов — никак. И при таком определении формулы биномиальных коэффициентов и рядов Тейлора работают единообразно для всех n ≥ 02.

Гамма-функция Γ обобщает факториал на вещественные и комплексные числа: Γ(n + 1) = n! для целых n. Γ(½) = √π. Факториал «половины» — корень из π. Числа пересекаются в неожиданных местах3.

А теорема Вильсона: (p − 1)! mod p = p − 1 тогда и только тогда, когда p простое. Простые числа можно опознать через факториал.