| значение | 6174 |
| открыл | Д. Р. Капрекар · 1949 |
| алгоритм | упорядочи цифры ↓ и ↑, вычти меньшее из большего, повтори |
| максимум | 7 шагов · всегда |
| исключения | числа с одинаковыми цифрами (1111, 2222, …) |
| трёхзначный аналог | 495 — та же идея для трёх цифр |
| связано | натуральные числа · mod · floor |
Число, куда все приходят.
возьми любое четырёхзначное число. упорядочи цифры. вычти. повтори. максимум через 7 шагов — всегда 6174. всегда.
Возьмём число 1234. Цифры по убыванию: 4321. По возрастанию: 1234. Вычитаем меньшее из большего: 4321 − 1234 = 3087. Повторим. Цифры 3087 по убыванию: 8730. По возрастанию: 0378. 8730 − 0378 = 8352. Ещё раз. 8532 − 2358 = 6174.
Теперь начинается самое интересное. Применим алгоритм к 6174: цифры по убыванию — 7641, по возрастанию — 1467. 7641 − 1467 = 6174. То же самое. Мы дошли до неподвижной точки и застряли в ней навсегда.
Д. Р. Капрекар, индийский школьный учитель математики, открыл это в 1949 году1. Алгоритм прост, результат универсален. Возьмите любое четырёхзначное число, цифры которого не все одинаковы. Упорядочьте цифры по убыванию и по возрастанию (в случае нуля просто получите ведущий ноль). Вычтите меньшее из большего. Повторите с результатом. Не более чем через семь шагов вы окажетесь в 6174.
6174 — точка, где все четырёхзначные числа находят покой.
Почему именно 6174? Это единственная неподвижная точка операции Капрекара для четырёхзначных чисел. Доказывается она прямой проверкой всех ~9000 случаев — изящного аналитического доказательства не существует. Но факт точный и проверяется компьютером за секунду.
Для трёхзначных чисел аналог — 495. 954 − 459 = 495. Любое трёхзначное число, цифры которого не все одинаковы, приходит к 495 за не более чем 6 шагов2. Для двузначных неподвижной точки нет, есть цикл: 09 → 81 → 63 → 27 → 45 → 09 → … (длина 5). Для пятизначных — три неподвижные точки и несколько циклов; универсального притягивающего числа нет.
Четырёхзначные оказались уникальным случаем: одна неподвижная точка, и все начальные значения сходятся к ней очень быстро. Капрекар обнаружил эту аномалию интуитивно, перебирая числа в свободное от уроков время. Никакого практического применения у 6174 нет — это чистое математическое любопытство, за которым стоит вопрос, на который мы до сих пор не знаем ответа: почему именно 4 цифры так особенны?
Капрекар работал в маленьком индийском городке, не имел учёной степени, не занимал академических должностей. И всё же его имя теперь стоит за одной из самых известных «мелочей» теории чисел. Иногда самые красивые открытия делаются от скуки в учительской3.