| обозначение | E[X] или μ |
| определение | E[X] = Σ xᵢ · P(xᵢ) для дискретных · ∫ x · f(x) dx для непрерывных |
| ввёл | Христиан Гюйгенс · 1657 · «De Ratiociniis in Ludo Aleae» |
| свойства | E[aX + b] = a·E[X] + b · E[X + Y] = E[X] + E[Y] (всегда) |
| связано | дисперсия · CLT · Kelly criterion · utility |
Сколько стоит решение в среднем.
средний результат, если повторять решение бесконечно много раз.
Математическое ожидание — это средний результат, если повторять решение бесконечно много раз.
Монетка: орёл даёт +100, решка −100. E[X] = 0.5 × 100 + 0.5 × (−100) = 0. Честная игра. Долгосрочно не выиграешь и не проиграешь.
Казино: рулетка, ставка на красное. Выигрыш 1:1, но 18 красных из 37 (есть зеро). E[X] = (18/37) × 1 + (19/37) × (−1) = −1/37 ≈ −0.027. Каждая ставка теряет 2.7% в среднем. Казино богатеет. Всегда.
Положительный EV → делай. Отрицательный EV → не делай (если только не страхуешь риск).
Линейность E[X + Y] = E[X] + E[Y] не требует независимости. Это одно из самых полезных свойств в теории вероятностей.
Линейность — ключевое свойство: E[X + Y] = E[X] + E[Y] всегда, даже если X и Y зависимы3. Это делает EV удобным инструментом для сложных систем.
Но EV — не всё. Два варианта с одинаковым EV могут сильно отличаться: +100 с вероятностью 1 vs +10 000 с вероятностью 1%. EV одинаков. Но большинство людей выберут первое. Это variance — дисперсия. И expected utility — не EV.
В продукте EV это: ожидаемый прирост метрики от фичи = Σ P(сценарий) × Δ-метрика(сценарий) — взвешенное по вероятностям изменение. A/B-тест проверяет: реальный EV положительный?