Математика решений.

У каждого решения есть математическое ожидание. E[X] = Σ x_i × P(x_i). Взвешенная сумма всех возможных исходов по их вероятностям. Это не прогноз конкретного результата — средний результат, если делать это решение много раз.

Казино понимает EV лучше всех. Рулетка: 18 красных из 37. E[ставка на красное] = (18/37) × 1 + (19/37) × (−1) = −0.027. Минус 2.7 копейки с каждого рубля. При миллионе ставок казино забирает 27 000 рублей. Не потому что везёт. Потому что EV отрицательный.

Положительный EV — необходимое условие хорошего решения. Но не достаточное.

1738 год, Даниэль Бернулли. Игра: монетка, первый орёл на шаге n даёт 2ⁿ рублей1.

Бесконечный EV. Сколько заплатить за участие? Большинство людей говорят: 20–30 рублей. Не больше.

Бернулли объяснил: люди максимизируют не EV, а utility. Полезность денег убывает: +1000 рублей богачу менее ценны, чем бедняку. Логарифмическая utility. Это основа expected utility theory и критерия Келли.

Результат — плохой учитель. Он заставляет умных людей думать, что они непобедимы, а невезучих — что они некомпетентны. — Энни Дьюк, «Thinking in Bets», 2018

Келли 1956: оптимальная доля капитала для ставки — f* = (bp − q) / b2. При положительном EV ставить всё — путь к разорению. При первой неудаче теряешь всё навсегда. Келли балансирует EV и дисперсию.

EV — основа равновесия Нэша. Оптимальная стратегия в смешанных стратегиях — та, при которой противник безразличен между своими стратегиями. То есть его EV одинаков при любом выборе. Нэш: рациональные игроки максимизируют свой EV с учётом стратегий других.

Аукцион Викри: ставить честную оценку = EV-оптимально. Если ваша оценка товара v, EV любой другой ставки ≤ EV(v). Это dominant strategy именно потому, что максимизирует EV независимо от действий других.

В A/B-тестировании каждая фича — ставка с EV:

p-value отвечает: совместимы ли данные с EV = 0? Но не отвечает: каков реальный EV? Байесовский подход даёт posterior на EV — не бинарное решение.

Классическая ловушка EV-мышления. Честная игра: EV = 0 при каждой ставке. Но если ставишь фиксированную долю до нуля — разоришься с вероятностью 1. Конечный капитал плюс дисперсия — разорение. Бесконечный горизонт плюс отрицательная дисперсия — проблема.

Двусторонние рынки: платформа максимизирует общий EV. EV для покупателя + EV для продавца + EV для платформы. Механизм ценообразования Роше–Тироля — это распределение общего EV между сторонами.

Прежде чем принять решение — явно назови: (1) возможные исходы; (2) вероятность каждого; (3) ценность каждого; (4) EV = Σ P × V.

Это не гарантия правильного решения. Это гарантия, что решение принято осознанно. Плохой исход при правильном EV — не ошибка. Хороший исход при неправильном EV — не успех34.

Различие между качеством решения и качеством исхода — главный урок EV-мышления.