| формулировка | 3 двери, за одной машина; ведущий открывает дверь с козой |
| ответ | менять. P(выигрыш) = 2/3 vs 1/3 |
| парадокс | интуиция говорит 50/50, математика — 2/3 |
| история | Мэрилин вос Савант · 1990 · тысячи писем от математиков, все неправы |
| обобщение | N дверей, открыта N−2: P при смене = (N−1)/N |
| связано | вероятность · байесовское обновление |
Всегда меняй выбор.
вы выбрали дверь. ведущий открыл другую — там коза. менять? интуиция говорит — без разницы. математика говорит — менять всегда.
Шоу «Давайте заключим сделку». Три двери. За одной — машина, за двумя — козы. Вы выбираете дверь №1. Ведущий, который знает, где машина, открывает дверь №3 — там коза. Менять на дверь №2 или остаться на №1?
В сентябре 1990 года Мэрилин вос Савант опубликовала ответ в своей колонке Ask Marilyn в журнале Parade: «Меняйте. Вероятность выигрыша при смене — 2/3»1. Тысячи читателей написали ей, что она неправа. Сотни — с учёными степенями, включая преподавателей математики. Она была права.
Почему 2/3? Когда вы изначально выбирали дверь, вероятность угадать машину — 1/3. Вероятность того, что машина за одной из двух других — 2/3. Эти числа не меняются от того, что произошло потом. Ведущий открыл одну из «других» дверей — обязательно с козой, потому что он знает, где что, и не открывает машину. Вся вероятность 2/3, которая «лежала» на двух других дверях, теперь сконцентрирована на одной оставшейся закрытой. Смена даёт 2/3 успеха. Остаться на исходной — 1/3.
Интуиция ошибается потому, что не учитывает: ведущий знает.
Ключевой момент — ведущий действует не случайно. Он всегда открывает дверь с козой, и никогда — с машиной. Это не просто действие, это информация, которая обновляет вероятности по правилу Байеса. Если бы ведущий открывал дверь действительно случайно (и иногда показывал машину) — тогда оставшиеся две двери действительно были бы равноценны, 50/502. Но он не случайный. Его поведение — функция от вашего выбора и расположения машины.
Проще всего убедиться через симуляцию. Запустите 1000 раундов со стратегией «всегда менять» — выиграете около 667. Со стратегией «всегда оставаться» — около 333. Никакая интуиция не спасёт от арифметики.
Пол Эрдёш — один из величайших математиков XX века — отказывался верить в правильный ответ, пока ему не показали компьютерную симуляцию3. Его убедил не аргумент, а данные. Это и есть честный портрет того, как тяжело пересиливать вероятностную интуицию: даже у людей, которые занимаются вероятностями профессионально.
Обобщение задачи: если дверей не 3, а N, и ведущий открывает N−2 двери (все с козами, кроме одной закрытой), вероятность выигрыша при смене — (N−1)/N. При N=100 это 99%. И это всё ещё контринтуитивно.