| обозначение | f* — оптимальная доля капитала |
| формула | f* = (b·p − q) / b · b — коэффициент · p — вер. выигрыша · q = 1 − p |
| ввёл | Джон Келли · Bell Labs · 1956 |
| применение | ставки · инвестиции · размер позиции · A/B rollout |
| связано | EV · дисперсия · разорение игрока |
Сколько ставить, когда EV положительный.
положительный EV не значит «ставить всё». вопрос — какую долю капитала.
Есть игра с положительным EV. Монетка: орёл +200%, решка −100%. p(орёл) = 0.6. EV = 0.6 × 2 + 0.4 × (−1) = 0.8. Положительный. Ставить всё? Нет.
При ставке 100% капитала первая решка → банкрот. Навсегда. Даже с EV = +0.8 стратегия «всё» ведёт к разорению.
Джон Келли в 1956 году решил задачу: какую долю капитала ставить, чтобы максимизировать долгосрочный рост?1
f* = (b·p − q) / b
Для нашей монетки: b = 2, p = 0.6, q = 0.4. f* = (2 × 0.6 − 0.4) / 2 = 0.8 / 2 = 0.4. Ставить 40% капитала каждый раз.
Меньше f* — растёшь медленнее, чем мог. Больше f* — слишком высокая дисперсия, риск разорения. f* — оптимальный баланс EV и variance.
Половина Келли (f*/2) — популярная практика. Менее оптимально по EV, но намного устойчивее3. Баффет, Мангер, Талеб упоминают Келли в контексте концентрации позиций в портфеле.
Связь с информационной теорией: Келли показал, что f* максимизирует E[log(wealth)] — логарифмическую полезность2.
В продукте: Kelly-логика в rollout фичей. Не 0% (не запускать) и не 100% (полный rollout). Постепенный rollout с мониторингом — это Kelly: увеличивать экспозицию пропорционально уверенности в EV.