Пять писем 1654 года.

Шевалье де Мере был игроком. Образованным, любопытным, дружившим с математиками. В 1654 году он обратился к Паскалю с двумя вопросами.

Первый вопрос: задача о кубиках. Сколько бросков одного кубика нужно чтобы вероятность хотя бы одной шестёрки превысила 50%? Де Мере знал ответ: 4 броска. P(хотя бы одна шестёрка за 4 броска) = 1 − (5/6)⁴ ≈ 0.518.

По аналогии он решил: для двух кубиков и двойной шестёрки нужно 24 броска (в 6 раз больше, потому что 6² = 36). Но опыт показывал что 24 броска недостаточно. Де Мере проигрывал там где ожидал выигрывать. Он не понимал почему.

Правильный ответ: 25 бросков1. P(двойная шестёрка за 24 броска) = 1 − (35/36)²⁴ ≈ 0.491. Чуть меньше 50%. При 25 бросках — 0.506. Чуть больше. Аналогия с одним кубиком не работает. Де Мере был достаточно умён чтобы это заметить и обратиться к математику.

Второй вопрос — задача о разделе ставок. Задача о прерванной игре. Два игрока соревнуются. Первый кто наберёт n очков — победит. Игра прервана. Как справедливо разделить ставки?

Например: нужно 3 победы. Игра прервана при счёте 2:1. Первый игрок выигрывает если победит в следующей партии. Второй игрок выигрывает только если победит в двух следующих. Как делить деньги?

Паскаль написал Ферма. Началась переписка2. Пять писем. Июль-октябрь 1654 года.

Метод Ферма3: перечислить все возможные исходы. Если бы играли ещё 2 партии (максимум что нужно): ПП — первый выигрывает (победил в 1-й); ПВ — первый выигрывает (победил в 1-й); ВП — первый выигрывает (победил во 2-й); ВВ — второй выигрывает. Первый выигрывает в 3 случаях из 4. Ему причитается 3/4 от ставок.

Метод Паскаля: рекуррентные рассуждения через треугольник. Если впереди 1 партия и счёт равный — каждому причитается 1/2. Если один выигрывает при любом исходе — ему причитается всё. Паскаль строил решение через комбинаторику.

«Ваш последний ответ удовлетворил меня совершенно. Я восхищаюсь вашим методом — особенно потому что понимаю его хорошо. Он ваш собственный и ничем не похож на мой, но приходит к тому же.» — Паскаль, письмо Ферма

Что было новым: до этой переписки математики считали только реализовавшиеся события. Паскаль и Ферма начали считать возможные будущие исходы. Вероятность события определяется тем что могло бы произойти — не только тем что произошло. Это фундаментальный сдвиг.

Гюйгенс прочитал о переписке (не видел самих писем). За несколько недель воссоздал результаты самостоятельно. Опубликовал в 1657 году. Ввёл понятие математического ожидания. Его книга стала первым учебником по теории вероятностей.

Осенью 1654 года Паскаль пережил мистический опыт. «Ночь огня» — 23 ноября4. Два часа религиозного экстаза. После этого он почти не занимался математикой. Переключился на теологию. Переписка с Ферма — последняя его математическая работа.

Пять писем за три месяца. Игрок задал вопрос. Математики ответили. Из этого выросла теория вероятностей которая лежит в основе страхования, финансов, машинного обучения и квантовой механики.