| ввёл | Isaac Newton · ~1671 · впервые опубликовано Якобом Бернулли · 1691 |
| параметры | r — радиус (расстояние от полюса) · θ — полярный угол |
| диапазон | r ≥ 0 · θ ∈ [0°, 360°) или [−180°, 180°) |
| декарт ↔ полярные | x = r·cos(θ) · y = r·sin(θ) |
| обратный переход | r = √(x² + y²) · θ = atan2(y, x) |
| применение | спирали · розы · окружности · волны · астрономия |
| связано | декартовы · π · φ · полярные розы |
Когда угол важнее расстояния.
декартовы координаты описывают мир через прямые линии. полярные — через расстояние и поворот. для всего кругового они естественнее.
Окружность в декартовых координатах: x² + y² = r². Та же окружность в полярных: r = const. Одна буква вместо уравнения.
Спираль Архимеда в декартовых — сложное неявное уравнение. В полярных: r = aθ. Расстояние от центра пропорционально углу3.
Полярные координаты описывают точку через r — расстояние от полюса (начала координат) — и θ — угол от полярной оси (обычно направление вправо).
«Полярные координаты — это взгляд на мир глазами компаса, а не линейки.»
Перевод в декартовы: x = r · cos(θ), y = r · sin(θ). И обратно: r = √(x² + y²), θ = atan2(y, x). Функция atan2 учитывает знаки x и y и возвращает угол в правильной четверти. Это важно: arctan(y/x) не различает (1, 1) и (−1, −1). atan2 различает4.
Полярные розы — r = cos(n/d · θ). При n = 2, d = 1: четыре лепестка. При n = 3, d = 1: три лепестка. При дробных n/d — сложные незамкнутые узоры. Всё из одного уравнения в полярных координатах.
В астрономии орбиты планет описываются в полярных координатах. Закон Кеплера: r = a(1 − e²) / (1 + e·cos(θ)). r — расстояние до Солнца, θ — угол, e — эксцентриситет. Солнце — в полюсе.
В физике волны описываются через угол: A·cos(ωt + φ) — амплитуда, частота, фаза. Это полярный взгляд на колебание12.