| ввёл | Carl Friedrich Gauss · 1831; также: Argand · 1806; Wessel · 1799 |
| оси | вещественная (Re) · мнимая (Im) |
| точка | z = x + yi · x = Re(z) · y = Im(z) |
| модуль | |z| = √(x² + y²) = r |
| аргумент | arg(z) = θ = atan2(y, x) |
| форма Эйлера | z = r · e^(iθ) = r · (cos θ + i·sin θ) |
| связано | мнимая единица · формула Эйлера · полярные |
Плоскость для чисел, которых нет.
мнимые числа долго считались бессмысленными. Гаусс показал, что они живут на плоскости. И сразу стали реальными.
Мнимая единица i = √(−1). Декарт назвал её «мнимой» — как насмешку. Числа вида a + bi казались математической игрой без смысла.
В 1799 году норвежский картограф Каспар Вессель предложил изображать комплексные числа как точки на плоскости. Вещественная часть — горизонтальная ось. Мнимая часть — вертикальная ось1.
В 1806 году то же предложил Жан-Робер Арган. В 1831 году Гаусс популяризировал и развил идею. Теперь плоскость называют «плоскостью Гаусса» или «комплексной плоскостью»23.
«Комплексные числа — это вращение.» — популярное объяснение в духе 3Blue1Brown.
Точка z = 3 + 2i: вещественная часть Re(z) = 3 (три единицы вправо), мнимая часть Im(z) = 2 (две единицы вверх), модуль |z| = √(9 + 4) = √13 ≈ 3.61 (расстояние от начала), аргумент arg(z) = atan2(2, 3) ≈ 33.7° (угол от вещественной оси).
Комплексная плоскость — это полярные координаты для комплексных чисел. z = r · e^(iθ) = r · (cos θ + i·sin θ). Это формула Эйлера в общем виде. При r = 1, θ = π: e^(iπ) = −1. То есть e^(iπ) + 1 = 0.
Умножение комплексных чисел геометрически — это поворот и масштабирование. Умножить z на i — повернуть на 90° против часовой стрелки. i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1. Четыре поворота по 90° — полный оборот4.
Комплексная плоскость сделала мнимые числа геометрически реальными. Не числа на прямой — точки на плоскости. Это изменило всё: теория функций комплексного переменного, преобразование Фурье, квантовая механика — все используют комплексную плоскость.