Disquisitiones Arithmeticae
| год | 1801 |
| полное название | «Disquisitiones Arithmeticae» |
| автор | Карл Фридрих Гаусс · 1801 |
| язык | латинский |
| жанр | математический трактат |
| идея | теория сравнений · mod · квадратичные вычеты · основа современной теории чисел |
| связано | оператор mod · простые числа · теорема о квадратичных вычетах |
Книга, которая создала современную теорию чисел.
Гауссу было 24 года, когда вышли «Исследования». Он уже знал, что книга изменит математику. Он был прав.
Гаусс закончил «Disquisitiones Arithmeticae» в 1798 году. Ему было 21. Книга вышла в 1801 — три года ушло на поиск издателя1.
Центральная идея — теория сравнений (конгруэнций). Гаусс ввёл запись: a ≡ b (mod n). «a сравнимо с b по модулю n» означает, что a − b делится на n. 17 ≡ 2 (mod 5). 23 ≡ 8 (mod 5). Простая идея — но она систематизировала огромный пласт арифметики3.
До Гаусса теорема Ферма, теорема Вильсона, китайская теорема об остатках были разрозненными фактами. Гаусс показал, что они частные случаи одной теории.
«Математика — царица наук. Теория чисел — царица математики.» — Гаусс.
Главное достижение «Disquisitiones» — закон квадратичной взаимности. Для двух простых p и q: можно ли представить p как квадрат по модулю q — тесно связано с тем, можно ли представить q как квадрат по модулю p. Гаусс доказал это восемью разными способами. Называл теорему «золотой теоремой»2.
В книге также первое строгое доказательство основной теоремы алгебры (в его диссертации того же периода) и теории разложения чисел.
«Disquisitiones» читали как сложнейший текст. Дирихле возил книгу с собой всю жизнь — и читал её как Библию. Куммер, Дедекинд, Риман — все выросли на Гауссе4.