Две тысячи лет математики принимали Евклида как истину. Пять аксиом. Одна из них — аксиома параллельных: через точку вне прямой можно провести ровно одну параллельную этой прямой. Две тысячи лет математики пытались доказать её из остальных четырёх. Не получалось.

В 1830 году Лобачевский опубликовал работу «О началах геометрии» в Казанском вестнике1. Он не пытался доказать аксиому параллельных. Он предположил что она неверна. И построил геометрию где через точку вне прямой можно провести бесконечно много параллельных.

Геометрия Лобачевского внутренне непротиворечива. Сумма углов треугольника < 180°. Параллельные линии расходятся. Площадь треугольника ограничена сверху — даже если стороны уходят в бесконечность.

Коллеги встретили работу враждебно. Остроградский — ведущий русский математик — написал уничижительную рецензию. Работы отвергали. Называли «насмешкой над геометрией». Лобачевский продолжал.

Параллельно — и независимо — венгр Янош Бойяи разрабатывал ту же геометрию2. Гаусс сообщал друзьям что думал о том же 30 лет но боялся публиковать. Лобачевский был первым кто опубликовал.

Геометрия оказалась не одна. Аксиомы — не истины, а предположения. Меняешь аксиому — получаешь другую геометрию.

Признания при жизни не было. В 1846 году его отстранили от должности ректора. К концу жизни он ослеп. Последнюю работу диктовал.

Риман в 1854 году обобщил идеи Лобачевского и Бойяи до произвольно искривлённых пространств3. Это стало основой для теории относительности Эйнштейна. Физическое пространство — не евклидово. Лобачевский был прав4.

Это был первый удар по представлению о математике как о системе абсолютных истин. Гильберт, Гёдель, Тьюринг нанесут следующие.