Двоюродный дед и дед по прямой линии — не его случай. Даниил Бернулли родился внутри уже готовой математической династии и всю жизнь провёл в очереди чужих задач1.

Первую ему оставил кузен. В 1713 году Николай I Бернулли сформулировал задачу, которая сломала классическое ожидание. Монету бросают, пока не выпадет орёл; выигрыш на n-м броске — 2ⁿ. Ожидаемый выигрыш: каждый член суммы равен единице, членов бесконечно много, итог — бесконечность. Сколько разумный человек заплатит за вход? Рублей десять. Ни один расчёт этого не объяснял.

Даниил разобрал парадокс в 1738 году и предложил поправку, которая пережила всё остальное: ценность денег для человека не равна их числу2. Прирост ценности обратно пропорционален уже имеющемуся — dU = dX/X — а значит, полезность растёт как логарифм: U = ln X. Считать надо не ожидаемый выигрыш, а ожидаемую полезность. Бесконечность сворачивается в скромную конечную величину.

Статья вышла в комментариях Петербургской академии. Отсюда и название — петербургский парадокс. Через двести восемнадцать лет Джон Келли выведет тот же логарифм заново, ничего не зная про полезность, из чистой скорости роста капитала.

В 1734 году Парижская академия присудила приз за работу по астрономии двоим: Иоганну Бернулли и Даниилу Бернулли. Отцу и сыну. Отец счёл это оскорблением и выгнал сына из дома3.

Дальше хуже. В 1738 году Даниил выпустил «Hydrodynamica» — там и термин «гидродинамика», и принцип, носящий сегодня его имя: чем быстрее течёт жидкость, тем ниже её давление. Через год Иоганн опубликовал «Hydraulica», проставив на титуле 1732 год. Задним числом, чтобы формально опередить книгу сына.

Приоритет он себе так и не вернул, а отношения кончились навсегда.

В 1760 году Даниил сделал то, чего до него не делал никто: посчитал эпидемию4.

Вариоляция — прививка живой оспой — спасала от болезни, но убивала примерно одного привитого из двухсот. Спор шёл на уровне ощущений: одни считали риск неприемлемым, другие ссылались на пользу. Даниил построил модель возрастной смертности и посчитал, что даёт поголовная вариоляция всему населению.

Ответ: ожидаемая продолжительность жизни растёт примерно с 26 лет 7 месяцев до 29 лет 9 месяцев. Плюс три года и два месяца — ценой одного из двухсот.

Это первая в истории математическая модель эпидемии и первое применение вероятности к вопросу общественной политики. Даламбер немедленно возразил, и возражение было сильным: выигрыш достаётся населению и в отдалённом будущем, а риск смерти — конкретному человеку и сегодня. Спор о том, кому принадлежит среднее — толпе или тому, кто идёт по своему пути один, — начался здесь.

В десятой главе «Hydrodynamica» есть ещё одна вещь, которую почти никто не заметил. Даниил предположил, что давление газа — это удары множества частиц о стенку сосуда, и вывел из этого связь давления с объёмом. Кинетическая теория газов, за сто лет до Максвелла и Больцмана. Современники сочли главу необязательной.

Он выигрывал приз Парижской академии десять раз. Написал первую модель эпидемии, заложил гидродинамику и кинетическую теорию, ввёл полезность в экономику. И почти всё это делал в чужой очереди: задачу ставил кузен, приоритет отбирал отец, славу забирал век спустя тот, кто выводил заново.

Логарифм он нашёл первым — и объяснил его неверно, через убывающую радость богатого. Настоящую причину найдут только в наши дни: логарифм был не про чувство, а про время.