| обозначение | P(A|B) — вероятность A при условии B |
| определение | P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) при P(B) > 0 |
| ввёл | Томас Байес · 1763 · формализовано Колмогоровым · 1933 |
| свойства | P(A|B) ≠ P(B|A) в общем случае P(A|B) = P(A) ↔ A и B независимы P(A|B) + P(Aᶜ|B) = 1 |
| связано | теорема Байеса · независимость · вероятность |
Вероятность с учётом того что уже знаешь.
новая информация меняет вероятность. P(дождь) = 0.3, но P(дождь | облачно) = 0.6.
Безусловная вероятность: P(дождь завтра) = 0.3. Условная вероятность: P(дождь завтра | сегодня облачно) = 0.6. Новая информация меняет вероятность.
Формально: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).
Пример. Кубик. P(чётное) = 1/2. P(чётное | выпало > 3) = P({4,6}) / P({4,5,6}) = (2/6)/(3/6) = 2/3. Условие сузило пространство элементарных исходов.
Ключевое: P(A|B) ≠ P(B|A). P(болен | тест +) ≠ P(тест + | болен). Эта путаница называется transpose fallacy или prosecutor's fallacy2. В суде: ДНК совпало у 1 из 1000 — это P(совпадение | невиновен) = 0.001. Но P(невиновен | совпадение) может быть совсем другим. Зависит от prior — сколько людей вообще под подозрением.
Независимость: A и B независимы если P(A|B) = P(A) — знание B не меняет вероятность A. Эквивалентно: P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Броски монеты независимы. Дождь и продажи зонтиков — нет.
Теорема Байеса — следствие: P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B). Это формула обновления убеждений. Prior P(A) × likelihood P(B|A) → posterior P(A|B).
Полная вероятность: P(B) = Σᵢ P(B|Aᵢ) × P(Aᵢ). Разбить на сценарии, взвесить по вероятностям.
Условная вероятность — основа: байесовской статистики · машинного обучения · теории решений · медицинской диагностики. Всё что учитывает контекст — использует её.