Представьте горный рельеф. В каждой точке есть направление наибыстрейшего подъёма. Именно это и вычисляет ∇f — вектор, который указывает «вверх» в многомерном пространстве. Длина вектора — крутизна склона; направление — куда идти, чтобы подняться быстрее всего.

Градиентный спуск — основа обучения нейронных сетей. Функция потерь L(w) измеряет ошибку модели на обучающей выборке. ∇L указывает в сторону роста ошибки. Двигаемся в обратную сторону: w := w − α·∇L. Повторяем миллионы раз, на миллиардах примеров. Это и есть обучение — простой векторный спуск по очень многомерной поверхности1.

Уравнения Максвелла — это весь электромагнетизм в четырёх строках с набла.

Уравнения Максвелла записываются через набла компактно и красиво: ∇·E = ρ/ε₀, ∇·B = 0, ∇×E = −∂B/∂t, ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀·∂E/∂t. Четыре закона электромагнетизма — четыре строки. До введения векторных операций они занимали страницы покомпонентных формул.

Само слово «набла» — греческое название финикийской арфы. Гамильтон ввёл оператор в 1853 году, шотландский физик Питер Тэт предложил название за треугольную форму символа ∇. Математик Майкл Чёрли жаловался: «мы переходим от одной туманности к другой и называем это символом формы музыкального инструмента»2. Имя прижилось.

∇² — лапласиан, набла в квадрате (точнее, ∇·∇). Описывает диффузию тепла, квантовую механику (через уравнение Шрёдингера), гравитационный потенциал, форму натянутой мембраны. Одна из самых вездесущих операций в физике3.

Гамильтон думал, что изобретает удобную нотацию. Получилось, что описал универсальный язык поля.