Иррациональные числа делятся на два класса. Алгебраические — те, которые являются корнем какого-нибудь многочлена с целыми коэффициентами: √2 (корень x² − 2), ∛5, золотое сечение φ (корень x² − x − 1). Трансцендентные — те, которые не являются корнем никакого такого многочлена. π и e — самые знаменитые из них.

Жозеф Лиувилль построил первое трансцендентное число в 1844 году искусственно — как сумму ряда с очень быстро убывающими членами1. Доказательство было непрямым: если бы это число было алгебраическим, его нельзя было бы так хорошо приближать рациональными дробями, как оно приближается. Доказательство трансцендентности π потребовало ещё 38 лет и работы Линдемана — и закрыло задачу о квадратуре круга, которой две тысячи лет искали положительное решение2.

Трансцендентные числа — правило. Алгебраические — исключение.

Это не риторическая фраза. Кантор доказал, что алгебраических чисел счётно много (потому что счётно много многочленов с целыми коэффициентами, и каждый имеет конечное число корней) — а вещественных чисел несчётно. Значит, почти все вещественные числа — трансцендентны. Не «много», а почти все.

И всё же конкретных трансцендентных чисел мы знаем единицы. π, e, число Лиувилля, число Шампернауна 0.123456789101112… (которое нормально по построению), e^π (по теореме Гельфонда-Шнайдера). Большинство «случайных» комбинаций — например, π + e или π·e — мы до сих пор не умеем доказать ни алгебраическими, ни трансцендентными. Не «не доказали» — буквально не существует метода3.

Это уникальная ситуация: класс, в который попадает почти всё, и в котором мы умеем точно идентифицировать почти ничего. Трансцендентность — это свойство, которое легко иметь и трудно подтвердить.