эссе · вероятность · рынки · ~14 мин

плюсовое ожидание.

Прошлое эссе кончилось невесело: цена на табло — это сложенная вера всего рынка, и обогнать её почти никому не удаётся. Тогда вопрос на засыпку: как вообще на ставках зарабатывают? Ответ ровно один — найти ставку, где твоя вероятность выше зашитой в кэф. Этот зазор зовётся перевесом, а вся математика игры на нём — это ожидание и критерий Келли. Разберём, когда ставка плюсовая и сколько на неё ставить.

Перевес — это не «чувствую, что зайдёт», а расхождение двух чисел: твоего и рыночного. Коэффициент 2.5 говорит «рынок верит примерно в 40%» — это подразумеваемая вероятность, единица делить на кэф. Если ты, посчитав по своей модели, считаешь, что на деле тут 50%, — у тебя перевес в десять процентных пунктов. Ставка несёт ценность ровно тогда, когда твоя оценка выше той, что зашита в цену.

перевес — это разрыв между твоей вероятностью и той, что зашита в коэффициент

ожидание · цена ставки в среднем

Перевес переводится в деньги через ожидаемую ценность — EV. Поставил рубль под кэф o с вероятностью выигрыша p: с вероятностью p получаешь (o−1) рубля чистыми, с вероятностью (1−p) теряешь свой рубль. Сложим.

EV = p · (o−1) − (1−p) = p · o − 1

p = 0.5, o = 2.5: 0.5 · 2.5 − 1 = +0.25 (+25% на ставку)

EV плюсовое, когда p · o > 1, то есть твоя вероятность выше подразумеваемой 1/o. маржа поднимает планку: рынок уже зашил наценку, поэтому брать надо выше «честной» цены — оттого настоящий перевес редок.

Важная оговорка: EV — это средняя по множеству ставок, а не обещание выиграть вот эту. Одна ставка либо зашла, либо нет; плюс проступает только на дистанции и только если твоя p и вправду точна. (Почему дистанция всё расставляет — это закон больших чисел, про него у нас отдельно.) Так что плюсовое ожидание — не «выиграю», а «если повторю много раз с верной оценкой, выйду в плюс».

сколько ставить · критерий Келли

Допустим, перевес есть. Сколько поставить? Поставишь мало — будешь расти черепахой. Поставишь всё — разоришься на первой же неудаче, даже имея перевес: одна осечка обнуляет банк. Ответ дал Джон Келли: ставь ту долю банка, которая максимизирует долгосрочный рост капитала.

f* = (p · o − 1) / (o − 1) = перевес / (кэф − 1)

p = 0.5, o = 2.5: (1.25 − 1) / 1.5 ≈ 16.7% банка

чем больше перевес — тем крупнее доля; чем рискованнее кэф (больше o) — тем осторожнее. ставка пропорциональна перевесу и обратна риску.

рост капитала по доле ставки: пик у Келли, после двойного Келли уходит в минус

откуда взялся Келли · теория информации

Самое красивое — происхождение формулы. Джон Келли вывел её в 1956 году в Bell Labs, работая бок о бок с Клодом Шенноном, в статье с говорящим заголовком «Новая интерпретация скорости передачи информации».^[3] Он буквально перенёс теорию информации на ставки: игрок с информацией, размещающий ставки, — это тот же канал связи, и оптимальный темп роста капитала считается той же математикой, что и пропускная способность канала. Те самые биты из «четырёх лиц» здесь превращаются в скорость, с которой растут деньги. Позже Эд Торп обкатал Келли в блэкджеке, а затем как управляющий хедж-фондом на Уолл-стрит, а Леонард Брейман доказал: на бесконечной дистанции Келли обгоняет любую принципиально иную стратегию.^[4]

почему полный Келли опасен

Но у Келли острые зубы. Полная ставка по формуле максимизирует рост — и при этом дико колбасит счёт: банк может регулярно ужиматься вдвое, и не каждая психика это выдержит. А поставить больше Келли — чистое самоубийство: и риск выше, и рост ниже, ведь за пиком кривая падает и уходит в минус. Дважды Келли — это уже нулевой рост, дальше — стабильный путь к разорению при формальном «перевесе». Поэтому профессионалы играют дробным Келли — половиной, четвертью: рост почти тот же, а трясёт куда меньше.^[5] Урок жёсткий: даже с верным перевесом неправильный размер ставки убивает.

Ожидание говорит, стоит ли ставить. Келли — сколько. Но обе формулы ровно настолько умны, насколько верна твоя оценка вероятности.

И вот в чём соль. Вся эта математика безупречна, но стоит на одном хрупком входе — на твоей вероятности p. Формула не знает, откуда ты взял свои 50%; она честно посчитает рост и для полного бреда. Подставь кривую оценку — и Келли уверенно поведёт тебя к разорению по идеально выверенной траектории. А прошлое эссе показало: рыночная вероятность очень хороша, и обойти её трудно. Поэтому value betting — на десять процентов математика (она простая) и на девяносто честность: видишь ли ты на самом деле то, чего не видит толпа. Ожидание подскажет, стоит ли вообще ставить; Келли — сколько; но оба ровно настолько умны, насколько верна твоя картина мира. Перевес живёт не в формуле, а в том, правда ли ты знаешь что-то, чего не знает рынок.

на полях

[1]Перевес (value): твоя оценка вероятности p выше подразумеваемой 1/o. Подразумеваемая вероятность ≈ 1/кэф; «честная» (без маржи) — после деления на сумму 1/кэф по всем исходам.

[2]Ожидаемая ценность ставки: EV = p·(o−1) − (1−p) = p·o − 1 (на единицу ставки, o — десятичный кэф). Плюсовое при p·o > 1. EV — среднее по дистанции, не гарантия отдельной ставки (см. закон больших чисел).

[3]Критерий Келли: f* = (p·o − 1)/(o − 1) — доля банка, максимизирующая матожидание log-капитала (геометрический рост). Джон Л. Келли-мл., Bell Labs, 1956, «A New Interpretation of Information Rate» (Bell System Technical Journal); выведен из теории информации, рядом с Шенноном.

[4]Эд Торп применил Келли в блэкджеке («Beat the Dealer», 1962) и затем на Уолл-стрит; Л. Брейман (1961) доказал, что Келли на бесконечной дистанции обгоняет любую принципиально иную стратегию и быстрее достигает заданной цели.

[5]Полный Келли максимизирует рост, но очень волатилен; ставка больше Келли даёт меньший рост при большем риске (за пиком G(f) падает, после 2× Келли — отрицательна → разорение). Практики используют дробный Келли (½, ¼) ради меньшей волатильности при почти том же росте.