игла бюффона.
Брось иголку на пол, расчерченный линиями, — и по тому, как часто она ложится поперёк линии, можно вычислить π. В этом нет ни кругов, ни тригонометрии на виду: одно бросание, и константа проступает из чистой случайности.
| тема | геометрическая вероятность · π · Монте-Карло · Бюффон |
| читать | ~7 минут |
| связано | Монте-Карло · симуляция · π · колокол Гаусса |
В 1733 году французский натуралист Жорж-Луи Леклерк, граф де Бюффон, задал странный вопрос. Пол расчерчен параллельными линиями на равном расстоянии. Бросаем иглу короче этого расстояния. Какова вероятность, что игла ляжет поперёк линии? Вопрос выглядит праздным, но ответ оказался поразительным — и сделал Бюффона отцом целой области, геометрической вероятности1.
Ответ такой: если длина иглы ℓ, а расстояние между линиями d, то вероятность пересечь линию равна 2ℓ / πd2. Вглядись: в формуле, где нет ни одной окружности, вдруг сидит π. Откуда? Оттого, что игла падает под случайным углом, а распределение этих углов вращательно симметрично — π проникает в задачу через геометрию поворота, через все возможные направления иглы сразу3.
А теперь переверни формулу. Если π живёт в вероятности, то вероятность можно использовать, чтобы π добыть. Брось иглу много раз, посчитай долю пересечений — это и есть оценка вероятности. Подставь в формулу — получишь π. Чем больше бросков, тем точнее: π ≈ 2ℓN / dx, где N бросков и x пересечений. Случайные бросания иглы вычисляют одну из самых неслучайных констант на свете.
π можно не вычислить, а выбросить — как очки на костях, если бросать достаточно долго.
Это и есть метод Монте-Карло в его первозданном виде: добывать число случайными пробами. Тот самый, что спустя двести лет в Лос-Аламосе считал блуждания нейтронов и сегодня прогоняет футбольные турниры по десять тысяч раз. Только Бюффон опередил название на 170 лет и саму идею «вычислять случайностью» — он-то просто развлекался геометрией, не подозревая, что изобрёл инструмент4. Решение он опубликовал лишь в 1777-м, провозившись с задачей с перерывами почти полвека; красивое безынтегральное доказательство позже нашёл Барбье5.
И тут — обязательная неудобная история. В 1901-м итальянец Лаццарини якобы провёл опыт: 3408 бросков, и получил для π дробь 355/113 — точную до шести знаков. Слишком точную. Разоблачение простое: 3408 = 213 × 16, число подобрано так, чтобы выйти ровно на заранее известное 355/113; а промежуточные результаты так подозрительно хороши, что эксперимента, скорее всего, не было вовсе6. Классический confirmation bias: сначала ответ, потом «эксперимент» под него. Случайность честна — а вот рассказчик случайности не всегда.
Игла Бюффона остаётся одним из самых изящных фокусов математики: тут встречаются геометрия, вероятность и π — и оказывается, что бросить наугад иногда значит посчитать. Из бессмысленного дождя бросков проступает точное число. Случайность, если дать ей дистанцию, считает не хуже формулы — нужно лишь набраться терпения и не подгонять, как Лаццарини.